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沉默守望者

新虫 (小有名气)

[求助] 求解平面几何问题

过等边三角形几何中心任意画一条直线，过该点（几何中心）画一条一条直线与前面的直线垂直。能否将三角形按面积四等分？

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1楼 2015-09-07 10:28:44
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psylhh

木虫之王 (文学泰斗)

【答案】应助回帖

引用回帖:
11楼: Originally posted by 沉默守望者 at 2015-09-07 13:06:11
怎么证明的
...

设正三角形的边长为1（不失一般性，可设为l），过其中心的两条相互垂直的直线，若：1）有一条过三角形的一个顶点，则这样的两条直线将三角形分成两个相等的小三角形和两个相等的梯形，易知小三角形的面积小于梯形的面积，即此时无法将正三角形按面积四等分；
2）直线不过三角形的顶点，则这样的两条直线将三角形分成三个四边形和一个三角形；每个四边形均可由过原来三角形的一个顶点与中心的直线分成两个三角形，此时，所有分成的三角形都是等高的，从而可以只用两条直线切分原来三角形三条边的有关线段来表示四个部分（三个四边形和一个三角形）的面积。假设可以四等分面积，则表示这四个部分的式子相等，解相应的等式，将会推出矛盾的结果，从而表明假设错误，即这样的两条直线不能将正三角形按面积四等分。
注：本人不会传图，不便用代数式表示。楼主自己画图即可明白。
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晴空一鹤排云上，早引诗情到碧霄。
12楼2015-09-07 17:34:29
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普通回帖

qfw_68

版主 (文坛精英)

有尾巴的青蛙

【答案】应助回帖

可以。
1、过等边三角形几何中心任意画一条直线（设为直线a），再做过三角形顶点且平行上述直线a的辅助直线b（直线b要取在三角形内部，而不是只过一个三角形顶点；特殊情况下b至少是等边三角形的一个边）。
2、再过上述几何中心画一条一条直线与前面的直线a垂直，以平分等边三角形的面积，设合适的直线为c、d、e，则c、d、e必然也垂直与b。
3、则直线b在等边三角形中的直线段部分，被c、d、e分割成新形成的三角形的”高“。而c、d、e在等边三角形中的直线段部分即是新三角形的底。
4、很显然，只要取合适的c、d、e位置，及可满足题意。
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没有困难创造困难也要上网。
2楼2015-09-07 10:59:59
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psylhh

木虫之王 (文学泰斗)

【答案】应助回帖

经过证明，发现这样的两条线不能将三角形按面积四等分。
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晴空一鹤排云上，早引诗情到碧霄。
3楼2015-09-07 11:06:52
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qfw_68

版主 (文坛精英)

有尾巴的青蛙

【答案】应助回帖

4、...........即可满足题意。
如：
由直线a确定直线b，再由直线b确定直线c（c垂直于a和b，使c围成的小三角形面积为等边三角形面积的1/4）;
再由直线b确定直线d（d垂直于a和b，使d围成的三角形面积为等边三角形面积的1/2）;
再由直线b确定直线e（e垂直于a和b，使d围成的三角形面积为等边三角形面积的3/4）;
则所需的直线求出。
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没有困难创造困难也要上网。
4楼2015-09-07 11:08:54
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沉默守望者

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by qfw_68 at 2015-09-07 10:59:59
可以。
1、过等边三角形几何中心任意画一条直线（设为直线a），再做过三角形顶点且平行上述直线a的辅助直线b（直线b要取在三角形内部，而不是只过一个三角形顶点；特殊情况下b至少是等边三角形的一个边）。
2、再 ...

题意是用两条相互垂直的直线，将三角形按面积四等分

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5楼2015-09-07 11:11:25
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qfw_68

版主 (文坛精英)

有尾巴的青蛙

【答案】应助回帖

若直线a垂直于等边三角形的一边时，是不需要辅助线b的，此时a、b合一。
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6楼2015-09-07 11:14:07
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qfw_68

版主 (文坛精英)

有尾巴的青蛙

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by 沉默守望者 at 2015-09-07 11:11:25
题意是用两条相互垂直的直线，将三角形按面积四等分
...

那主贴写成：....画一条一条直线与前面的直线垂直...
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7楼2015-09-07 11:15:10
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qfw_68

版主 (文坛精英)

有尾巴的青蛙

【答案】应助回帖

首先一条直线a有时就不可能平分等边三角形的面积。则即是有垂直于a的直线分割出四块图形，起面积也就不可能相等了。
比如a平行于等边三角形等边的情况。其小正三角形的面积为大等边三角形的4/9，四边形面积为大等边三角形的5/9。
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8楼2015-09-07 11:22:42
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qfw_68

版主 (文坛精英)

有尾巴的青蛙
更正：...则即使有垂直于a的直线分割出四块图形，其面积也就不可能相等了。
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9楼2015-09-07 11:23:38
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697308

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

可以尝试用定积分，分情况计算下。

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10楼2015-09-07 11:30:16
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