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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 俄罗斯教程上的一道题目
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trg3618

新虫 (小有名气)

[求助] 俄罗斯教程上的一道题目已有1人参与

题目见图片，如能解答，不胜感激。

俄罗斯教程上的一道题目
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1楼2015-08-07 15:14:04
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trg3618

新虫 (小有名气)
首先要证明第一句话，然后是第二句话。
另外，书上说该论断是非平凡的，这是什么意思？
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2楼2015-08-07 15:15:41
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
该问题首先需要排除p=2的情形（例如n=3，m=5，p=2时命题不成立）
所以需要限定p为奇素数。
下面就在此加强条件下证明命题。
这由


既得


由此可知p=4k+1型的素数
由于满足条件的n，m有无穷多，故知这样的素数也有无穷多哦哦
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2015-08-07 15:57:34
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-07 15:57:34
该问题首先需要排除p=2的情形（例如n=3，m=5，p=2时命题不成立）
所以需要限定p为奇素数。
下面就在此加强条件下证明命题。
这由
n^2+m^2\equiv 0(mod p)
既得
\left(\frac{-1}{p}\right)=1=(-1)^{\frac{p-1} ...

特别地, 的素因子一定是大于n 的型如4k+1的奇素数, 从而这样的奇素数有无穷多个.
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We_must_know. We_will_know.
4楼2015-08-08 05:40:19
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
运用Abstract Algerba的知识来解答。见链接269~271页的内容：
俄罗斯教程上的一道题目-1
1.png
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  • 附件 1 : A_First_Course_in_Abstract_Algebra—J.Rotman.pdf
    • 2015-08-08 12:03:01, 5.1 M
PreferenceforMathematics
5楼2015-08-08 12:03:08
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trg3618

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-07 15:57:34
该问题首先需要排除p=2的情形（例如n=3，m=5，p=2时命题不成立）
所以需要限定p为奇素数。
下面就在此加强条件下证明命题。
这由
n^2+m^2\equiv 0(mod p)
既得
\left(\frac{-1}{p}\right)=1=(-1)^{\frac{p-1} ...

既得后面的式子不懂，-1/p什么意思？
用的是什么定理？
谢谢！
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6楼2015-08-10 08:38:20
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trg3618

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-08 05:40:19
特别地, (2\prod_{prime p\leq n, p\equiv 1 (mod 4)}) p)^2+1的素因子一定是大于n 的型如4k+1的奇素数, 从而这样的奇素数有无穷多个....

这是为什么？
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7楼2015-08-10 08:38:38
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trg3618

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-08-08 12:03:08
运用Abstract Algerba的知识来解答。见链接269~271页的内容：

1.png

谢谢，不过p是整除a^2+b^2的一个素质，不是等于。。。
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8楼2015-08-10 08:39:59
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trg3618

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-08-08 12:03:08
运用Abstract Algerba的知识来解答。见链接269~271页的内容：

1.png

证明的最后一句里的，these equation指的是什么？为什么可以从p整除a^2+b^2推出p=a^2+b^2
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9楼2015-08-10 08:56:22
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
6楼: Originally posted by trg3618 at 2015-08-10 08:38:20
既得后面的式子不懂，-1/p什么意思？
用的是什么定理？
谢谢！...

Legendre符号啊
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
10楼2015-08-10 17:15:33
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