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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【庸师勿扰】关于一个矩阵计算方法证明的烦恼
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令狐计划

新虫 (小有名气)

[求助] 【庸师勿扰】关于一个矩阵计算方法证明的烦恼 已有3人参与

众所周知，A、B两个矩阵如果能够相乘的话，则：

|AB| = |A||B|。 (#)

其证明方法，一般的教科书上也都会提供，大致是构建一个2X2的新的分块矩阵，令A、B处于这个新矩阵的主对角元位置，而次对角元则分别由-I和O这两个矩阵充斥。经过一系列的线性变换，原先O充斥的位置变为AB，在经简单思辨，便证得结果(#)。

此过程本计划能看懂。但是如果没有教科书提供的此方法，本计划无法原创性地构想出此套方案，而这正是烦恼所在。

请问各位数学前辈，你们可以吗？我为什么无法原创性地构造此套方案？

先谢过！
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1楼 2015-08-05 22:06:21
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 令狐计划 at 2015-08-05 23:45:55
我的问题是如何想到如此证明的。即便我能看懂这种证明方法，我也不能原创性地想出这种方法。...

我个人觉得,上面的证明更象在炫耀技巧,会误导你迷失了行列式的本意.

https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
上有说明, 行列式代表了线性变换的放(大)缩(小)率, 那么, 非常自然地, 就有,
det(AB)=det(A)*det(B).  (实际上, 我们只能看到 |det(AB)/det(A)det(B)|=1. 可是这等式是关于A,B系数的连续函数,所以局部必须是常值函数. 取值+1比较靠谱些.)

小学生都知道,假如变换A能放大5倍,变换B能放大3倍, 那么先放大3倍,再接着放大5倍, 相当于一次性放大15倍.

许许多多的数学定理, 你都可以把它们当作定义来接受. "必当如此"

我们必须知道，我们必将知道 --- 大卫.希尔伯特
【庸师勿扰】关于一个矩阵计算方法证明的烦恼
determinant.png
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We_must_know. We_will_know.
7楼2015-08-06 05:32:20
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hyy19921221

铁虫 (正式写手)
数学上很多证明要想弄清楚为什么这么想，那真的是得追溯到很远很远。。

[ 发自小木虫客户端 ]
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11楼2015-08-06 13:16:31
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木易山水

金虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-06 05:32:20
我个人觉得,上面的证明更象在炫耀技巧,会误导你迷失了行列式的本意.

https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
上有说明, 行列式代表了线性变换的放(大)缩(小)率, 那么, 非常自然地, 就有,
det(AB)=det(A)* ...

没太明白，能否用更直白的方法说明下你这个方法呀？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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大师远去，新的一代正在成长
12楼2015-08-06 16:30:29
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普通回帖

wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
令狐计划: 金币+1, ★有帮助 2015-08-05 22:32:11
只想提醒你!
A、B两个矩阵如果能够相乘的话,
不一定可以分别取行列式!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2015-08-05 22:27:22
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令狐计划

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-08-05 22:27:22
只想提醒你!
A、B两个矩阵如果能够相乘的话,
不一定可以分别取行列式!

谢谢提醒。应增加一个条件，A、B皆为方阵。由于我的帖子不允许编辑了，特借此补充。
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3楼2015-08-05 22:33:50
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
用矩阵的等价标准型也可以证明，思路如下：
如果A,B都是对角矩阵，那么显然成立。
一般的矩阵A可以 用第三类初等变化化为对角矩阵，而第三类初等变换不改变行列式。也就是A=DE, 其中E为一系列第三类初等矩阵的成绩。对B做类似的处理得B=D_1E_1, 注意到ED_1 = D_1 E0 for some E0 of  行列式1.
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4楼2015-08-05 23:05:55
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
大概是这样的。
A   0               0   AB
-I   B    ->        -I  B
左侧行列式 = |A||B|，右侧行列式 = |AB|
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知其然，知其所以然。
5楼2015-08-05 23:33:42
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令狐计划

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-08-05 23:33:42
大概是这样的。
A   0               0   AB
-I   B    ->        -I  B
左侧行列式 = |A||B|，右侧行列式 = |AB|

我的问题是如何想到如此证明的。即便我能看懂这种证明方法，我也不能原创性地想出这种方法。
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6楼2015-08-05 23:45:55
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-08-05 22:27:22
只想提醒你!
A、B两个矩阵如果能够相乘的话,
不一定可以分别取行列式!

我还以为是矩阵的范数，想想不对啊
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
8楼2015-08-06 06:45:01
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
令狐计划: 金币+14, ★★★很有帮助, 我就把“深刻的理解，熟练的数学技巧，聪明的构造方法”作为答案吧。 2015-08-06 21:38:17
引用回帖:
6楼: Originally posted by 令狐计划 at 2015-08-05 23:45:55
我的问题是如何想到如此证明的。即便我能看懂这种证明方法，我也不能原创性地想出这种方法。...

具体怎么想出这种证明方法，我也不知道。就像一个数学证明，如何构造出证明方法来一样，需要对问题很深刻的理解，熟练的数学技巧，聪明的构造方法吧。

另外概念和直觉可以帮助深刻理解数学，并可能洞察、预测一些结果。但严谨的证明还是需要的。
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知其然，知其所以然。
9楼2015-08-06 10:01:36
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令狐计划

新虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-08-06 10:01:36
具体怎么想出这种证明方法，我也不知道。就像一个数学证明，如何构造出证明方法来一样，需要对问题很深刻的理解，熟练的数学技巧，聪明的构造方法吧。

另外概念和直觉可以帮助深刻理解数学，并可能洞察、预测一 ...

是的。严谨的证明需要有一个入口，我很看重怎么找到这个入口。就本问题而言，严谨的证明是可以看懂的，但怎么想到这一步的我并不知道。应该是需要“需要对问题很深刻的理解，熟练的数学技巧，聪明的构造方法”吧。
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10楼2015-08-06 10:37:21
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