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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【庸师勿扰】关于一个矩阵计算方法证明的烦恼
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令狐计划

新虫 (小有名气)

[求助] 【庸师勿扰】关于一个矩阵计算方法证明的烦恼 已有3人参与

众所周知，A、B两个矩阵如果能够相乘的话，则：

|AB| = |A||B|。 (#)

其证明方法，一般的教科书上也都会提供，大致是构建一个2X2的新的分块矩阵，令A、B处于这个新矩阵的主对角元位置，而次对角元则分别由-I和O这两个矩阵充斥。经过一系列的线性变换，原先O充斥的位置变为AB，在经简单思辨，便证得结果(#)。

此过程本计划能看懂。但是如果没有教科书提供的此方法，本计划无法原创性地构想出此套方案，而这正是烦恼所在。

请问各位数学前辈，你们可以吗？我为什么无法原创性地构造此套方案？

先谢过！
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1楼 2015-08-05 22:06:21
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-08-05 22:27:22
只想提醒你!
A、B两个矩阵如果能够相乘的话,
不一定可以分别取行列式!

我还以为是矩阵的范数，想想不对啊
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
8楼2015-08-06 06:45:01
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查看全部 13 个回答

wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
令狐计划: 金币+1, ★有帮助 2015-08-05 22:32:11
只想提醒你!
A、B两个矩阵如果能够相乘的话,
不一定可以分别取行列式!
赞一下 回复此楼
善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2015-08-05 22:27:22
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令狐计划

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-08-05 22:27:22
只想提醒你!
A、B两个矩阵如果能够相乘的话,
不一定可以分别取行列式!

谢谢提醒。应增加一个条件，A、B皆为方阵。由于我的帖子不允许编辑了，特借此补充。
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3楼2015-08-05 22:33:50
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
用矩阵的等价标准型也可以证明，思路如下：
如果A,B都是对角矩阵，那么显然成立。
一般的矩阵A可以 用第三类初等变化化为对角矩阵，而第三类初等变换不改变行列式。也就是A=DE, 其中E为一系列第三类初等矩阵的成绩。对B做类似的处理得B=D_1E_1, 注意到ED_1 = D_1 E0 for some E0 of  行列式1.
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4楼2015-08-05 23:05:55
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