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chenghehe321

铁虫 (初入文坛)

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[求助] 圆内随机点到圆外一点的距离的概率分布

在xOy平面直角坐标系中，在x轴上存在一点 $H(h,0)$ ，圆O以原点为圆心，半径为R，且 $0<R <= h$ 。令圆内任意一点为 $P(X_0,Y_0)$ ，那么点H到点P的距离的概率分布是多少？
我自己的结果是错误的，但是找不到哪里的推导出问题了，推导如下：
令距离

则有分布函数和相应的概率密度函数为：

其中z的值域为[h-R,h+R]，这个概率密度函数在z的值域的积分为

，并不为1，所以肯定是有问题的。
而且再举一个例子，当R=1，h=3的时候，z的值域为[2,4]，但是z的概率密度函数的期望则为

把h和R的数值带进去，期望为112/3，约为37，这明显是不可能的，我这推导到底是哪出问题了啊？
请各位多多指教，感谢！

[ Last edited by feixiaolin on 2015-5-26 at 05:51 ]

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怀疑～

1楼2015-05-26 01:41:22

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xiaomishang

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你确定4楼是对的吗？我咋觉得他理解成圆上了，而不是圆内~~

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很个性

7楼2016-10-19 16:50:58

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★ ★ ★ ★ ★
pippi6: 2015-05-27 16:20:09
chenghehe321(pippi6代发): 金币+5 2015-05-27 16:21:11

积分看起来很难积的样子，我们用几何中的弓形面积吧。

设两圆半径分别为R,r, 圆心距为h, 那么两圆相交得到的面积为
$R^2(\alpha-\frac{1}{2}\sin{2\alpha})+r^2(\beta-\frac{1}{2}\sin{2\beta})$

其中， r的变化范围是[h-R, h+R], $\cos{\alpha}=\frac{R^2+h^2-r^2}{2Rh}$ 弧度介于0和 $\pi$ ， $\cos{\beta}=\frac{r^2+h^2-R^2}{2rh}$ 弧度大于0但不超过 $\frac{\pi}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-05-26 08:21:48

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hank612

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-26 08:21:48
积分看起来很难积的样子，我们用几何中的弓形面积吧。

设两圆半径分别为R,r, 圆心距为h, 那么两圆相交得到的面积为
R^2(\alpha-\frac{1}{2}\sin{2\alpha})+r^2(\beta-\frac{1}{2}\sin{2\beta})

其中， r的变 ...

如果你对pdf感兴趣，那么 $f(r)=2r\beta$ 等于以r为半径，2Beta为弧度的圆弧长。你也可以对上面的 cdf对r求导得到 $2r\beta$ 。不过mean还是求不出来的（没有初等表达式）

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We_must_know. We_will_know.

3楼2015-05-26 08:43:30

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chenghehe321

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chenghehe321: 回帖置顶 2015-05-26 17:06:42
chenghehe321: 取消置顶 2015-05-26 17:07:09

引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-26 08:43:30
如果你对pdf感兴趣，那么 f(r)=2r\beta等于以r为半径，2Beta为弧度的圆弧长。你也可以对上面的 cdf对r求导得到2r\beta。不过mean还是求不出来的（没有初等表达式）...

感谢你的回答，我已经搞清楚我的推导哪里出问题了。
你的分布函数是对的，不过概率密度函数不像是对的。\alpha和\beta是关于r的反三角函数，在求导的时候不能直接略去吧。
我正在求最后的式子，好像很复杂的式子。

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怀疑～

5楼2015-05-26 16:16:10

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