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李干是

新虫 (小有名气)

[求助] 一个想了很久的问题，希望能得到解答

a0,a1,...,a(n-1)都是整数，证明：由这些元素组成的范德蒙德行列式能被∏s!(s从1到n-1)整除

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2015-05-07 14:54:08
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
http://www.cut-the-knot.org/wiki ... dermonteDeterminant

里面证明几乎说是"显然"的,几乎没有计算.

由Vandermonte 行列式的定义,


以及行列式在初等列变换下不变, 知道对于任意的首一多项式fi (fi次数为i,原来联接没有这个限制,可能使行列式退化为0), 均有  

特别地, 取, 由组合数的定义, 对于非负整数a, 有 , 从而阶乘i!是矩阵第(i+1)列的公因子, 从而楼主想要的结果成立.

这是 a result of Robin Chapman.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2015-05-09 00:51:53
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-09 00:51:53
http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Algebra.DivisibilityOfProd-DifAndTheVandermonteDeterminant

里面证明几乎说是"显然"的,几乎没有计算.

由Vandermonte 行列式的定义,
det( ...

怎么能看出fi中有(i-1)!的公因子呢！我太愚钝，看不出来

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3楼2015-05-09 17:58:22
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 李干是 at 2015-05-09 17:58:22
怎么能看出fi中有(i-1)!的公因子呢！我太愚钝，看不出来
...

你的观察是对的，fk没有明显的(k-1)!的公因子，但是当a是整数时，fk(a)显然可以被k!整除。

f_k(a)是k个连续整数的连乘积，一定被k!整除， 这是组合数C(n,k)的定义阿。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2015-05-10 00:21:45
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-10 00:21:45
你的观察是对的，fk没有明显的(k-1)!的公因子，但是当a是整数时，fk(a)显然可以被k!整除。

f_k(a)是k个连续整数的连乘积，一定被k!整除， 这是组合数C(n,k)的定义阿。...

哦哦，真是笨！！谢谢啦

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5楼2015-05-10 09:30:42
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