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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 拉格朗日插值算法的龙格现象怎么破！多谢了！
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leaves7777

新虫 (初入文坛)

[求助] 拉格朗日插值算法的龙格现象怎么破！多谢了！ 已有2人参与

目前编写VC++的MFC程序，实现将一个txt文档中的两列数据导入，然后对其进行拉格朗日插值，加密数据点再导出来。比如有两列数据：
3        5.3
4        9.1
5        5.4
......
拉格朗日插值后变成：
3        5.3
3.5     8.1375
4        9.1
4.5     8.1875
5        5.4
......
目前对于数据点比较少的情况，能够得到较好的结果，但是对于数据点多的情况（比如200个数据），
拉格朗日插值在两端边界点出会有很大的误差，求解决，数学系的高手们！
另外：如果要用切比雪夫插值点的话，具体应该怎么操作呢？
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1楼 2015-02-07 15:05:47
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
leaves7777: 金币+3, ★★★很有帮助 2015-02-08 11:26:14
用高阶拉格朗日插值可能会出现震荡现象，但二阶应不会。尤其针对你的数据我看不出来有问题。这和数据点多(密)没关系，只是和插值阶数有关系。实在有问题，就用一阶线性插值来，总不会有问题。

如有问题，请把问题数据传上来看看，就事论事比较好。

切比雪夫是整体拟合，相当于谱方法。插值不太合适吧。
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3楼2015-02-07 22:11:29
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
leaves7777: 金币+2, ★★★很有帮助 2015-02-08 11:26:24
用样条插值就行了!
赞一下(1人) 回复此楼
善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2015-02-07 22:19:18
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
4楼: Originally posted by wurongjun at 2015-02-07 22:19:18
用样条插值就行了!

三阶样条需要两边边界点导数，仍然要从Lagrange公式求出
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5楼2015-02-07 23:37:25
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普通回帖

leaves7777

新虫 (初入文坛)
有劳各位了！
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2楼2015-02-07 15:06:23
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leaves7777

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2015-02-07 22:11:29
用高阶拉格朗日插值可能会出现震荡现象，但二阶应不会。尤其针对你的数据我看不出来有问题。这和数据点多(密)没关系，只是和插值阶数有关系。实在有问题，就用一阶线性插值来，总不会有问题。

如有问题，请把问题 ...

多谢你的回答。上面列出的数据是3个点的插值，因此拉格朗日多项式是2阶的，这是对的。但是如果插值点越多，拉格朗日多项式次数越高，就会引起两边边界的数据点震荡。如果两次的话不知道能不能达到准确度的要求。
再次感谢
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6楼2015-02-08 09:34:21
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leaves7777

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2015-02-07 22:11:29
用高阶拉格朗日插值可能会出现震荡现象，但二阶应不会。尤其针对你的数据我看不出来有问题。这和数据点多(密)没关系，只是和插值阶数有关系。实在有问题，就用一阶线性插值来，总不会有问题。

如有问题，请把问题 ...

下面的图就是我通过拉格朗日得到的拟合曲线，在两端处震荡相当的大。
附件的txt文档为插值原数据。
拉格朗日插值算法的龙格现象怎么破！多谢了！
11111.jpg
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    • 2015-02-08 09:43:05, 1.05 K
7楼2015-02-08 09:43:55
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
6楼: Originally posted by leaves7777 at 2015-02-08 09:34:21
多谢你的回答。上面列出的数据是3个点的插值，因此拉格朗日多项式是2阶的，这是对的。但是如果插值点越多，拉格朗日多项式次数越高，就会引起两边边界的数据点震荡。如果两次的话不知道能不能达到准确度的要求。
...

不是这么说的。say，你有200个点但是仍然可以用2阶Lagrange插值，分段就可以了。如果考虑二阶导数连续性，那就使用3阶样条，像4楼建议的一样，边界点使用4阶Lagrange求出导数。没必要整体Lagrange插值，实际上也很少人这么做。形式精度（阶数）和真实准确度并不总是一致的。具体效果要看实施情况，分析太多没什么意义。
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8楼2015-02-08 09:46:11
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leaves7777

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by pippi6 at 2015-02-07 23:37:25
三阶样条需要两边边界点导数，仍然要从Lagrange公式求出...

多谢版主，请问如果我可以用低阶的拉格朗日方法去拟合几百个点的数据吗，应该怎么实现？
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9楼2015-02-08 09:47:40
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by pippi6 at 2015-02-07 23:37:25
三阶样条需要两边边界点导数，仍然要从Lagrange公式求出...

这个边界条件分很多种!
没有明确给定的话!
你可以选择非节点情况!或者自由边界情况!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
10楼2015-02-08 09:50:03
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