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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 请教大虾，新手分少，恳请帮助
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suplixia

新虫 (小有名气)

[求助] 请教大虾，新手分少，恳请帮助 已有4人参与

一个多元函数连续函数，对其每一个变量都有严格的单调性，那么他的最大值或最小值是否唯一？运用梯度算法能否一定得到他的最值？例如f（x，y，z）。f（x，y，z）关于x/y/z单调增或减

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1楼 2014-11-21 21:09:23
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
suplixia(feixiaolin代发): 金币+1 2014-11-24 07:40:32
Can we consider the following example?
Let f(x,y) = x^2+y^2-2xy in [0,1]^2.  Then f(x,y) is a strictly increasing function of x or y. How about the maximum or minimum. (1,0) or (0,1) are both maximal points.
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
2楼2014-11-22 01:11:45
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修竹依米

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
suplixia(feixiaolin代发): 金币+1 2014-11-24 07:40:40
最大值、最小值存在与否和给定函数的定义域有关
如果在闭区域上 连续函数肯定是有最大值、最小值的，且可以取得这些值
最大值、最小值一定是唯一的 但是 最大值点和最小值点未必唯一
----即使在严格单调的情况下 最大值点、最小值点也未必唯一
---2楼给出了很好的示例

至于用梯度算法 首先 函数只是连续且严格单调 未必存在梯度
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3楼2014-11-23 09:12:28
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
suplixia(feixiaolin代发): 金币+1 2014-11-24 07:40:45
引用回帖:
2楼: Originally posted by zaq123321 at 2014-11-22 01:11:45
Can we consider the following example?
Let f(x,y) = x^2+y^2-2xy in ^2.  Then f(x,y) is a strictly increasing function of x or y. How about the maximum or minimum. (1,0) or (0,1) are both maximal po ...

f(x,y) = x^2+y^2-2xy is not a strictly increasing function of x in [0,1]^2, since f_x=2x-2y changes sign when x > y.
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4楼2014-11-23 11:18:29
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
连续函数在闭集上应该达到最大值。既然达到最大值，就是唯一。因为不可能有两个最大值。但是，如果你说的是极大值，或局部极大值，有可能不唯一。但是，如果是单调函数，不可能在区域内部达到极大值，必然会在边界上达到极大值。原题是否有问题？
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5楼2014-11-23 11:24:18
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suplixia

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-23 11:24:18
连续函数在闭集上应该达到最大值。既然达到最大值，就是唯一。因为不可能有两个最大值。但是，如果你说的是极大值，或局部极大值，有可能不唯一。但是，如果是单调函数，不可能在区域内部达到极大值，必然会在边界上 ...

您说的有道理，我问题没有说清楚。多元函数连续函数，在指定区间内对其每一个变量都有严格的单调性，那么除了边界处，它可能在区间内部存在极值吗？麻烦给简单证明下，谢谢了

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6楼2014-11-23 12:48:13
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★
suplixia(feixiaolin代发): 金币+1 2014-11-24 07:41:02
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6楼: Originally posted by suplixia at 2014-11-23 12:48:13
您说的有道理，我问题没有说清楚。多元函数连续函数，在指定区间内对其每一个变量都有严格的单调性，那么除了边界处，它可能在区间内部存在极值吗？麻烦给简单证明下，谢谢了
...

严格单调函数不可能在区域内点到极值，我以为这是显而易见的。反正即可：因为如果在P=(x1,x2,...,xi,...,xn)点达到局部极值，由于P点是内点，总可以找到一个r>0，使得。(x1,x2,...,xi+r,...,xn)仍然在区域内。那么，由于严格单调性 f(x1,x2,...,xi+r,...,xn) > f(x1,x2,...,xi,...,xn)，那就违反了(x1,x2,...,xi,...,xn)是 f的局部极值点的假定。
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suplixia suplixia
7楼2014-11-23 13:01:14
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suplixia

新虫 (小有名气)
送红花一朵
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7楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-23 13:01:14
严格单调函数不可能在区域内点到极值，我以为这是显而易见的。反正即可：因为如果在P=(x1,x2,...,xi,...,xn)点达到局部极值，由于P点是内点，总可以找到一个r>0，使得。(x1,x2,...,xi+r,...,xn)仍然在区域内。那 ...

谢谢，一目了然

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8楼2014-11-23 13:06:56
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suplixia

新虫 (小有名气)
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3楼: Originally posted by 修竹依米 at 2014-11-23 09:12:28
最大值、最小值存在与否和给定函数的定义域有关
如果在闭区域上 连续函数肯定是有最大值、最小值的，且可以取得这些值
最大值、最小值一定是唯一的 但是 最大值点和最小值点未必唯一
----即使在严格单调的情况下 ...

多元函数连续函数，对其每一个变量都有严格的单调性，是否一定能够通过梯度法获得其最值，麻烦给解释一下，谢谢啦

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9楼2014-11-23 13:10:45
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
9楼: Originally posted by suplixia at 2014-11-23 13:10:45
多元函数连续函数，对其每一个变量都有严格的单调性，是否一定能够通过梯度法获得其最值，麻烦给解释一下，谢谢啦
...

sorry，不懂什么是梯度法。
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10楼2014-11-23 13:14:21
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