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lixuemei201

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[求助] 证明多项式在有理数域上不可约已有2人参与

设p1.p2...,pn为两两不等的素数，证明多项式f（x）=（x-p1）^2+(x-p2)^2...（x-pn）^2+1在有理数域上不可约。。。。。。我自己的那种证明，不严格，没用到了素数这一条件，求一个稍微详细的解答，谢谢

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1楼 2014-10-04 10:42:00

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lixuemei201

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给点思路为好，纠结了很久

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2楼2014-10-04 12:13:59

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

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lixuemei201: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-10-05 11:49:11

不需要 $p_i(i=1,2,\cdots,n)$ 为素数的条件。直接可以证明下面的命题：
命题设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是n个实数，则多项式

$f(x)=\sum\limits_{i=1}^n(x-a_i)^2+1$

在实数域上不可约。
证明： $f(x)=nx^2-2(\sum\limits_{i=1}^na_i)x+\sum\limits_{i=1}^na_i^2+1$

所以其判别式就有：

$\delta=4\left((\sum\limits_{i=1}^na_i)^2-n(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)-n)\leq -n<0$

命题即得证。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2014-10-04 15:53:05

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引用回帖:

3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-04 15:53:05
不需要p_i(i=1,2,\cdots,n)为素数的条件。直接可以证明下面的命题：
命题设a_1,a_2,\cdots,a_n是n个实数，则多项式
f(x)=\sum\limits_{i=1}^n(x-a_i)^2+1
在实数域上不可约。
证明：f(x)=nx^2-2(\sum\limits_{ ...

判别式不在考试大纲内。。帅哥，能有平常点的方法吗

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4楼2014-10-05 00:02:57

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