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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 证明多项式在有理数域上不可约
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lixuemei201

新虫 (小有名气)

[求助] 证明多项式在有理数域上不可约 已有2人参与

设p1.p2...,pn为两两不等的素数，证明多项式f（x）=（x-p1）^2+(x-p2)^2...（x-pn）^2+1在有理数域上不可约。。。。。。我自己的那种证明，不严格，没用到了素数这一条件，求一个稍微详细的解答，谢谢

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1楼 2014-10-04 10:42:00
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匿名

用户注销 (著名写手)
感谢参与，应助指数 +1
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5楼2014-10-05 11:28:15
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
给点思路为好，纠结了很久

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2楼2014-10-04 12:13:59
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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lixuemei201: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-10-05 11:49:11
不需要为素数的条件。直接可以证明下面的命题：
命题 设是n个实数，则多项式


在实数域上不可约。
证明：


所以其判别式就有：


命题即得证。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-10-04 15:53:05
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-04 15:53:05
不需要p_i(i=1,2,\cdots,n)为素数的条件。直接可以证明下面的命题：
命题 设a_1,a_2,\cdots,a_n是n个实数，则多项式
f(x)=\sum\limits_{i=1}^n(x-a_i)^2+1
在实数域上不可约。
证明：f(x)=nx^2-2(\sum\limits_{ ...

判别式不在考试大纲内。。帅哥，能有平常点的方法吗

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4楼2014-10-05 00:02:57
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