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20120906

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[ Last edited by feixiaolin on 2014-10-3 at 15:08 ]

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学术交流

1楼 2014-10-03 14:13:34

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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

★
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20120906: 金币+1, ★有帮助, 其他小问的答案哩 2014-10-03 15:22:41

利用stirling公式 $n!=\sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{a_n}$ ，这里 $0<a_n<\frac{1}{12n}$ 。
代入 $u_n=\frac{(2n)!\sqrt{n}}{(n!)^24^n}$ 就得到：

$u_n=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{a_{2n}-2a_n}$

所以就有：

$l=\lim\limits{n\to+\infty}u_n=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2014-10-03 15:11:23

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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20120906: 金币+9, ★有帮助 2014-10-05 10:01:50

因为 $\ln\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}\ln(1+\frac{1}{4n(n+1)})$ ,可以看出序列Un是单调上升的. 利用不等式: ln(1+x) < x 当 0<x, 得到
$\ln(u_{n+1})-\ln(u_n) < \frac{1}{2}\frac{1}{4n(n+1)}=\frac{1}{8}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
所以可以设Wn=1/n.

那么, $\ln(u_{n+1})-\ln{\frac{1}{2}} < \frac{1}{8}(1-\frac{1}{n+1})$ 知道C= 1/8 -ln(2). 从而Un有上界, 所以极限存在.

设极限为l (Edstrayer给出了非常漂亮的结果 $l=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ ), 由于 $\ln(u_{M})-\ln(u_n) <\frac{1}{8}(\frac{1}{n}-\frac{1}{M})$ 对任何 M>n 成立, 所以让 $M\rightarrow \infty$ , 得: $-\frac{1}{8n} < \ln{\frac{u_n}{l}}$

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We_must_know. We_will_know.

3楼2014-10-04 05:43:37

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