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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » C/C++ » 数学证明题：两数相乘 证明乘积的位数
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我爱小虫子

新虫 (正式写手)

[求助] 数学证明题：两数相乘 证明乘积的位数 已有7人参与

如果a, b两个整数，位数分别为3,4位，怎样证明他们的乘积的位数最多为3+4位呢
今天在敲代码的时候一直在纠结这个问题，没有想出一个合理的解释，求大神们帮忙说说。。。。感谢。
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1楼 2014-08-04 21:09:58
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luanjinling

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
我爱小虫子: 金币+2 2014-08-06 11:19:48
上面几个楼层回答有误。其实，小学和中学学的知识中就有这么一条：
一个数(m位数)与另一个数(n位数)相乘，将两个乘数的最高位相乘，如果积是二位数，则这两个数的积为m+n位数，两个乘数的最高位相乘，积为一位数，则这两个数的积为m+n-1位数
本例中乘积的位数应为3+4=7或3+4-1=6（而不是上面楼层所说的5）

简单算一下就可以知道,最小的三位数是100，最小的四位数是1000，乘积100000，共6位，最大的三位数是999，最大的四位数是9999，乘积9989001，共7位。
在代码中，判断两个乘数的最高位的乘积位数，从而判断出楼主所给两个数a和b的乘积位数，应该是非常容易的。
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6楼2014-08-05 10:44:07
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锐利的碎片

木虫 (正式写手)

star watcher

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
jjdg: 金币+1, 感谢参与 2014-08-05 07:23:55
我爱小虫子: 金币+2, ★有帮助, 3q 2014-08-06 11:18:09
容易知道
10^(m + n) - 1 > (10^m - 1)*(10^n - 1) (m,n 为正整数)
对于三位数最大值是10^3 - 1四位数是10^4 - 1,由于上面的不等式可知乘积不大于7位数的最大值，所以最多7位。
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2楼2014-08-04 21:30:31
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
jjdg: 金币+1, 感谢参与 2014-08-05 07:24:04
我爱小虫子: 金币+2 2014-08-06 11:25:18
设A是三位数，B为四位数。
则:100≤A≤1000,                     (1)
     1000≤B≤10000                  (2)
(1)、(2)两式相乘：
   10^5≤A*B≤10^7
因此，他们的乘积的位数最少为2+3=5位；最多为3+4=7位
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3楼2014-08-04 21:47:49
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
我爱小虫子: 金币+4, ★★★很有帮助, 只是有点小小的错误。。。感谢，，， 2014-08-06 11:17:21
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2014-08-04 21:47:49
设A是三位数，B为四位数。
则:100≤A≤1000,                     (1)
     1000≤B≤10000                  (2)
(1)、(2)两式相乘：
   10^5≤A*B≤10^7
因此，他们的乘积的位数最少为2+3=5位；最多为3+4=7位

纠正：（1）式中的1000应该为999；二式里的10000应改为9999。其他不变。
设A是三位数，B为四位数。
则:100≤A≤999                     (1)
     1000≤B≤9999                 (2)
(1)、(2)两式相乘：
   10^5≤A*B≤10^7-10^4-10^3+1<10^7
因此，他们的乘积的位数最少为2+3=5位；最多为3+4=7位
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4楼2014-08-04 21:56:08
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