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shikang999

新虫 (小有名气)

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[交流] 数据拟合愚见已有5人参与

以下为个人愚见，希望对有缘人有帮助，如有不足（呵呵，口语写惯了，可能很多语言不是太学术），欢迎拍砖！
1、数据拟合问题，可简单转换成方程组求解的问题，且也可简单分为线性与非线性问题。

2、对于线性问题，可简单看成一个超定方程的求解，这时采用最小二乘算法求解即可。
比如：需要拟合的方程为
$y = a \times {x_1} + b \times {x_2} + c \times {x_3} + \ldots$
其中 $y,{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots$ 为采集的数据,需要拟合的变量为
$a,b,c,d, \ldots$
如果把上面的例子化成一个方程组可表示如下
${y_1} = a \times {({x_1})_1} + b \times {({x_2})_1} + c \times {({x_3})_1} + \ldots$
${y_2} = a \times {({x_1})_2} + b \times {({x_2})_2} + c \times {({x_3})_2} + \ldots$
${y_3} = a \times {({x_1})_3} + b \times {({x_2})_3} + c \times {({x_3})_3} + \ldots$
$\ldots$

PS：对于一些表面上是非线性问题却可转换成线性拟合的问题，建议先转换成线性拟合得到结果。有些人可能会说，转换后拟合的数据会放大误差，对于这类会放大误差的问题，还是建议先转换成线性拟合，得到一个解，让将这个解作为初始值带入非线性拟合问题当中进行求解，也不失为一个很好的方法。
例子：需要拟合的方程为
$y = a \times \sin ({x_1}) + b \times x_2^2 + c \times {x_1}{x_2}$
其中 $y,{x_1},{x_2}$ 为采集的数据, $a,b,c$ 为需要拟合的变量，这时公式可进行简单的变换
${z_1} = \sin ({x_1})$
${z_2} = x_2^2$
${z_3} = {x_1}{x_2}$
$y = a \times {z_1} + b \times {z_2} + c \times {z_3}$

3、非线性问题的拟合
   可能我们大部分遇到的都是非线性拟合问题，非线性拟合问题又可简单看成一种简单的循环“迭代问题”。这里先简单说一下在求解非线性问题采用算法时注意的地方：（1）智能算法（比如：遗传算法、粒子群算法……）一般都可简单说成是全局优化算法，当然这里所谓的全局优化算法只能说是相对的，毕竟目前还查不到有什么算法能确定出任意的非线性拟合问题的解。（2）剩下的就是一些局部最优算法了（比如：Broyden形式的求解算法、LM算法……），这类算法的特点是在解的附件时能很快收敛到解。也因此，配合好全局与局部算法是一个不错的选择！（3）为了加快找到解的速度，可考虑采用多线程求解方式【如果你的算法允许】。即使你不会多线程，只要你会编程，网上找一下你所熟悉编程语言的多线程操作例子，不出半个小时，你准能搞定！

4、非线性拟合时可能遇到的问题
（1）拟合公式里含有积分或者微分等项
解：不管是积分或者是微分，它只是一个函数，自己实现即可
比如：需要拟合的公式为
$y = a \times \sin (b \div {x_1}) + c\int\limits_0^{{x_2}} {\cos } (x)dx$
其中 $y,{x_1},{x_2}$ 为采集的数据, $a,b,c$ 为需要拟合的变量，这时我们可考虑做如下变换
$f(z) = \int\limits_0^z {\cos } (x)dx$
$y = a \times \sin (b \div {x_1}) + c \times f({x_2})$
当中的 $f(z)$ 函数，我们可以自己写一个积分算法进行求解，这个和公式中直接调用正弦函数 $sin (x)$ 是一样的，只是程序内部已经帮我们将正弦函数的算法实现。
同样的，如果有微分项，一样可以使用类似的方法进行处理。
PS：即使有一些软件提供积分或者微分等算法，如果那种算法你不熟悉或者怕被做手脚，加之一些算法的局限性，建议自己编程实现这类积分或者微分求解的问题。

（2）拟合的公式为隐函数的拟合
解：对于这个问题，说白了就是转移一种评价方式的问题，这时进行简单的变换即可
比如：需要拟合的方程为
$y = a \times \sin (x) + \frac{b}{{\cos (y)}} + c \times \sqrt {xy}$
其中 $x,y$ 为采集的数据， $a,b,c$ 为需要拟合的变量，
正常情况下，程序内部的评价方式可能是 $y - y'$ ，其中一个是真实值一个是拟合值，因为这种评价方式比较困难，这时我们可考虑做如下变换
$f = a \times \sin (x) + \frac{b}{{\cos (y)}} + c \times \sqrt {xy} - y$
这时的评价方式即变成 $f - 0$ ，这样就完美解决！

5、拟合的评价方式问题
  这里的评价方式只针对求解过程中的评价方式，也因此只讨论非线性问题的评价问题。
  所谓的评价方式，就是指用什么方式来解答：什么时候拟合结束，怎样的解才算更优？
  这个没有统一的答案，仁者见仁智者见智吧！不过，我还是说下我的想法，有些在求解时喜欢采用各种假设检验来检验解的优度，因为我是一个追求程序效率的人，我并不建议在程序中采用这种方式，因为在调用各种假设检验算法时必定会消耗一部分计算时间，因此一个简单高效的评价方法不失为一种好的方式。
常见的，我们会使用最小二乘，即
$S = \sum\limits_{i = 1}^n {{{({y_i} - {{y'}_i})}^2}}$
类似这种方式来评价，其中 $S$ 越小，解越好。当然，也许你会采用如下的方式
$S = \sum\limits_{i = 1}^n {{{({y_i} - {{y'}_i})}^p}}$
其中 $p$ 为一个设定的指数，当 $p$ 不为整数时，会涉及到求非整数次方的问题，这会对计算造成一定的开销，如没有必要，个人感觉还是不要使用比较好。
对于我们每个解得到的 $S$ 怎么才算好呢，个人感觉还是采用一种相对误差的形式来评价比较好！

OK，就写到这里吧！

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