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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 为什么对于对称方阵，其特征值和奇异值是一样的？
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yuxi1989

银虫 (小有名气)

[求助] 为什么对于对称方阵，其特征值和奇异值是一样的？ 已有2人参与

RT。主要是看一个matlab代码，做PCA。它是把协方差矩阵作SVD分解，然后把U作为特征向量，S作为特征值了。正常的PCA应该是协方差矩阵求特征值和特征向量。网上查了一下，有说法“对于对称方阵，其特征值分解和奇异值分解是一样的？”。想了下，作者可能是根据这个来写的，因为向量的协方差矩阵是对称的，而且是方的。可能matlab的SVD比eig快，作者节约时间！但是我还是不理解“为什么对于对称方阵，其特征值和奇异值是一样的？”特征值的话，总感觉是平方的关系，特征向量组成的矩阵和U的关系？这个我就更不明朗了。所以前来求助。谢谢！
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1楼 2014-07-15 19:04:43
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iamsad

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
yuxi1989: 金币+1, ★★★很有帮助, 谢谢！但是怎么判定正定呢？貌似只有根据特征值了。成鸡生蛋、蛋生鸡的问题了。 2014-07-17 19:19:23
对于对称方阵，其特征值和奇异值未必一样! 因为奇异值一定非负，而特征值可以是负的。
只有symmetric positive semi-definite的矩阵，其特征值和奇异值才一样。
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2楼2014-07-15 21:36:56
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
yuxi1989: 金币+1, ★★★很有帮助, 谢谢！但貌似真的如上楼所说，需要正定的条件。 2014-07-17 19:20:28
设A是对称方阵（考虑实矩阵，复的一样），则A^T（A的转置）=A。
若r是A的特征值，则r的平方是A的平方的特征值，又因为A是对称矩阵，所以r的平方是A乘A的转置的特征值，由A的奇异值定义知 r是A的奇异值。
反之，若r是A的奇异值，即r^2是AA^T的特征值，由上知，r^2是A^2的特征值，即r是A的特征值，所以楼主的结论是对的
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3楼2014-07-15 22:11:49
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hy东舟

银虫 (初入文坛)
对称矩阵特征值与奇异值差正负号，特征向量和奇异向量张成空间一样。从谱分解来看，对称矩阵可以酉对角化，A=Q*B*Q^t，B对角线特征值，只要将负号加到Q的列上，使B对角线大于0，得到的就是奇异值分解
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4楼2014-07-16 10:31:24
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yuxi1989

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hy东舟 at 2014-07-16 10:31:24
对称矩阵特征值与奇异值差正负号，特征向量和奇异向量张成空间一样。从谱分解来看，对称矩阵可以酉对角化，A=Q*B*Q^t，B对角线特征值，只要将负号加到Q的列上，使B对角线大于0，得到的就是奇异值分解

非常感谢！（抱歉，不知道怎么你这个帖子不能给金币了）。但是我还是有一个问题，就是如我所说。通过SVD（奇异值分解），对实对称方阵A=U*S*V（S为奇异值）。其U是不是就是特征向量呢？因为PCA关键是要用协方差矩阵的特征向量构建变换矩阵。谢谢！
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5楼2014-07-17 19:26:14
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hy东舟

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by yuxi1989 at 2014-07-17 19:26:14
非常感谢！（抱歉，不知道怎么你这个帖子不能给金币了）。但是我还是有一个问题，就是如我所说。通过SVD（奇异值分解），对实对称方阵A=U*S*V（S为奇异值）。其U是不是就是特征向量呢？因为PCA关键是要用协方差矩阵 ...

就我所知，理论上U不一定是特征向量的，但matlab中svd算法当矩阵对称且中小规模时，本质上是就是利用QR算法算谱分解，所以计算的是特征向量，你可以实验下。另外svd一般不会比eigs快，毕竟svd要计算两组正交基底U，V，eig只需要一组特征向量基底
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6楼2014-07-18 10:59:46
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yuxi1989

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hy东舟 at 2014-07-18 10:59:46
就我所知，理论上U不一定是特征向量的，但matlab中svd算法当矩阵对称且中小规模时，本质上是就是利用QR算法算谱分解，所以计算的是特征向量，你可以实验下。另外svd一般不会比eigs快，毕竟svd要计算两组正交基底U， ...

谢谢！你的线性代数基础真好，得多向您学习。我再去看看那个代码，想想那个作者为什么要这么写！
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7楼2014-07-19 17:42:00
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一壶漂泊2015

新虫 (初入文坛)
楼主，你好，我也遇到了和你相同的疑问，请问你解决了吗？
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8楼2016-05-11 19:44:51
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