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math2000铁杆木虫 (职业作家)
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随机变量函数的协方差大于0 已有2人参与
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问题如下：设f(x)，g(x)是实值单调有界函数，X是随机变量，证明 f(X)与g(X)的协方差大于0. 直观看，很显然，因为f(X)与g(X)同时增长，即正相关，所以协方差肯定大于0，但证明无从下手，没想出怎么利用条件：单调增加？ 望高手指教，谢谢 另外也可以从实变或高数角度证明 |
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7楼2014-05-28 17:42:57
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2楼2014-05-27 21:03:58
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【答案】应助回帖
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设Random Variable X的分布函数为 h(x), 那么 必需追加条件: 原因如下: (1) 令 (2) 这就是你想要的: E(g*f/a) > E(g) , E(gf)> E(g)*a = E(g)*E(f). |
4楼2014-05-28 07:35:55
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5楼2014-05-28 07:51:05
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6楼2014-05-28 17:41:11
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谢谢你的答复, 我的证明有错误, 因为默认了函数f(x)是连续的. 使得 f(b)=a的点b完全可以不存在. 不过这个问题可以绕过. 容易看出, 可以取到B使得 f(x)>=a 如果 x>=B; f(x)<a, 如果x<B. 不等式还是成立的. 第一个不等式, 在(B, Infinity)上, 被积函数是 (g(x)-g(B))*h(x)*(f(x)/a -1), 其中 g(x)-g(B) >=0, h(x)>=0, f(x)/a -1>=0, 因此积分非负. 第二个不等式, 在(-Infinity,B)上, 被积函数是 (g(x)-g(B))*h(x)*(f(x)/a -1), 其中 g(x)-g(B) <=0, h(x)>=0, f(x)/a -1<0, 因此积分依然非负. 你的答案简洁明快, 感觉是 Proof in THE BOOK. 佩服. |
8楼2014-05-29 00:56:13
9楼2015-09-05 23:51:19
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