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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 随机变量函数的协方差大于0
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

[求助] 随机变量函数的协方差大于0 已有2人参与

问题如下：设f(x)，g(x)是实值单调有界函数，X是随机变量，证明
f(X)与g(X)的协方差大于0.

直观看，很显然，因为f(X)与g(X)同时增长，即正相关，所以协方差肯定大于0，但证明无从下手，没想出怎么利用条件：单调增加？
望高手指教，谢谢
另外也可以从实变或高数角度证明
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1楼 2014-05-27 20:45:17
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

math2000

铁杆木虫 (职业作家)
谢谢坛友的热心回复。
本人已解决。再次感谢
令h(x,y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]
由f，g的单调性，知道h是非负函数
考虑二重积分：
h(x,y)dF(x)dF(y)
其中F(x)是随机变量的分布函数
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7楼2014-05-28 17:42:57
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普通回帖

chenjhit

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
好像是沙发额、、、没办法了、、应助吧、、、看不太懂题目、、、能不能直接求出对应的协方差呢？、、、表达式？、、还是测试点？？
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有鼬一样的眼睛还有鼬一样的心态，那么最终只会眼瞎。
2楼2014-05-27 21:03:58
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
即证明
E{f(X)g(X)}>E[f(X)]E[g(X)]
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3楼2014-05-27 21:07:32
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
设Random Variable X的分布函数为 h(x), 那么
必需追加条件:   以及 f(x), g(x) 单调上升 (否则有反例).  那么 E(fg) > E(f)E(g) 就是显然的.

原因如下:
(1) 令 ,  那么由于 h(x)是非负的,  f(x)/a  - 1是单调上升的, 并且 , 那么存在一点b, 满足函数 h(x)( f(x)/a -1) 在b点左边面积为负, 右边为正, 并且左边总面积绝对值等于右边总面积.

(2)  

这就是你想要的:  E(g*f/a) > E(g) ,  E(gf)> E(g)*a = E(g)*E(f).
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We_must_know. We_will_know.
4楼2014-05-28 07:35:55
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-28 07:35:55
设Random Variable X的分布函数为 h(x), 那么
必需追加条件:   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)h(x)dx >0 ,  \quad  \int_{-\infty}^{\infty} g(x)h(x)dx >0 $  以及 f(x), g(x) 单调上升 (否则有反例).  那么 ...

冒似这个点b更方便:  f(b)=a.  那么
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-05-28 07:51:05
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-28 07:51:05
冒似这个点b更方便:  f(b)=a.  那么

\int_b^{\infty}  g(x)*h(x)*(f(x)/a-1) dx > g(b) \int_b^{\infty}  h(x)*(f(x)/a-1) dx >= -g(b) \int_{-\infty} ^{b} h(x)*(f(x)/a-1) dx > - \int_{-\infty}  ...

谢谢你的答复，但证明有错误，上面的第一个不等式不成立，因为被积函数不能保证在（b，无穷）是正的。
且最后一个不等式也不成立
还是感谢
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6楼2014-05-28 17:41:11
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by math2000 at 2014-05-28 17:41:11
谢谢你的答复，但证明有错误，上面的第一个不等式不成立，因为被积函数不能保证在（b，无穷）是正的。
且最后一个不等式也不成立
还是感谢...

谢谢你的答复, 我的证明有错误, 因为默认了函数f(x)是连续的.  使得 f(b)=a的点b完全可以不存在.  不过这个问题可以绕过. 容易看出, 可以取到B使得 f(x)>=a 如果 x>=B; f(x)<a, 如果x<B.

不等式还是成立的. 第一个不等式, 在(B, Infinity)上, 被积函数是 (g(x)-g(B))*h(x)*(f(x)/a -1), 其中 g(x)-g(B) >=0, h(x)>=0, f(x)/a -1>=0, 因此积分非负.

第二个不等式, 在(-Infinity,B)上, 被积函数是 (g(x)-g(B))*h(x)*(f(x)/a -1), 其中 g(x)-g(B) <=0, h(x)>=0, f(x)/a -1<0, 因此积分依然非负.

你的答案简洁明快, 感觉是 Proof in THE BOOK. 佩服.
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We_must_know. We_will_know.
8楼2014-05-29 00:56:13
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dh3440242

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by math2000 at 2014-05-28 17:42:57
谢谢坛友的热心回复。
本人已解决。再次感谢
令h(x,y)=
由f，g的单调性，知道h是非负函数
考虑二重积分：
h(x,y)dF(x)dF(y)
其中F(x)是随机变量的分布函数

能不能再说具体点？这就是Kimball概率不等式。
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一切皆有可能
9楼2015-09-05 23:51:19
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dh3440242

新虫 (初入文坛)
概率论与随机分析
证明:若函数f(x)和g(x)有相同的单调性，则Cov(f(x),g(x))≥0.
给个具体的证明过程.
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一切皆有可能
10楼2015-09-06 00:31:29
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