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math2000

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[求助] 随机变量函数的协方差大于0 已有2人参与

问题如下：设f(x)，g(x)是实值单调有界函数，X是随机变量，证明
f(X)与g(X)的协方差大于0.

直观看，很显然，因为f(X)与g(X)同时增长，即正相关，所以协方差肯定大于0，但证明无从下手，没想出怎么利用条件：单调增加？
望高手指教，谢谢
另外也可以从实变或高数角度证明

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1楼 2014-05-27 20:45:17

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hank612

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

设Random Variable X的分布函数为 h(x), 那么
必需追加条件:   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)h(x)dx >0 ,  \quad  \int_{-\infty}^{\infty} g(x)h(x)dx >0$ 以及 f(x), g(x) 单调上升 (否则有反例).  那么 E(fg) > E(f)E(g) 就是显然的.

原因如下:
(1) 令 $E(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)h(x)dx =a >0$ ,  那么由于 h(x)是非负的,  f(x)/a  - 1是单调上升的, 并且 $\int_{-\infty}^{\infty} h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx=0$ , 那么存在一点b, 满足函数 h(x)( f(x)/a -1) 在b点左边面积为负, 右边为正, 并且左边总面积绝对值等于右边总面积.

(2)   $\int_{b}^{\infty} g(x) h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx > g(b) \int_{b}^{\infty} h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx= -g(b) ) \int_{-\infty}^{b} h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx > - \int_{-\infty}^{b} g(x) h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx$

这就是你想要的:  E(g*f/a) > E(g) ,  E(gf)> E(g)*a = E(g)*E(f).

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We_must_know. We_will_know.

4楼2014-05-28 07:35:55

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chenjhit

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

好像是沙发额、、、没办法了、、应助吧、、、看不太懂题目、、、能不能直接求出对应的协方差呢？、、、表达式？、、还是测试点？？

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有鼬一样的眼睛还有鼬一样的心态，那么最终只会眼瞎。

2楼2014-05-27 21:03:58

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math2000

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即证明
E{f(X)g(X)}>E[f(X)]E[g(X)]

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3楼2014-05-27 21:07:32

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hank612

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引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-28 07:35:55
设Random Variable X的分布函数为 h(x), 那么
必需追加条件: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)h(x)dx >0 , \quad \int_{-\infty}^{\infty} g(x)h(x)dx >0 $ 以及 f(x), g(x) 单调上升 (否则有反例). 那么 ...

冒似这个点b更方便: f(b)=a. 那么

$\int_b^{\infty} g(x)*h(x)*(f(x)/a-1) dx > g(b) \int_b^{\infty} h(x)*(f(x)/a-1) dx >= -g(b) \int_{-\infty} ^{b} h(x)*(f(x)/a-1) dx > - \int_{-\infty} ^{b} g(x)*h(x)*(f(x)/a-1) dx$

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We_must_know. We_will_know.

5楼2014-05-28 07:51:05

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