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匿名

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1楼2014-04-13 14:10:30

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

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zz3476: 金币+5, 对，有道理。 2014-04-13 20:38:32

令u=t*x,v=t*y,
因为f(t*x,t*y)=f(u,v)=t^n*f(x,y)
两边对t求一阶和二阶导数（注意，将f[u(t),v(t看作t的复合函数）：
Pf(u,v)/Pu*x+Pf(u,v)/Pv*y=n*t^(n-1)*f(x,y)
再次对两边求t的导数（注意，将Pf[u(t),v(t)]/Pu、Pf[u(t),v(t)]/Pv看作t的复合函数）：
x^2*P^2f(u,v)/Pu^2+2*x*y*P^2f(u,v)/(Pu*Pv)
+y^2*P^2f(u,v)/Pv^2=n*(n-1)*t^(n-2)*f(x,y)
=n*(n-1)*t^(n-2)*f(u/t,v/t)
=n*(n-1)*t^(n-2)*(1/t)^n*f(u,v)
u^2*P^2f(u,v)/Pu^2+2*u*v*P^2f(u,v)/(Pu*Pv)+
+v^2*P^2f(u,v)/Pv^2=n*(n-1)*f(u,v)
上式对于任何u,v都是成立的，因此，若将u、v分别换成x、y也应该是成立的，故题目的结论成立。