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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 这道关于偏导数的证明题怎么做
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匿名

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1楼 2014-04-13 14:10:30
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zz3476: 金币+5, 对，有道理。 2014-04-13 20:38:32
令u=t*x,v=t*y,
因为f(t*x,t*y)=f(u,v)=t^n*f(x,y)
两边对t求一阶和二阶导数（注意，将f[u(t),v(t看作t的复合函数）：
Pf(u,v)/Pu*x+Pf(u,v)/Pv*y=n*t^(n-1)*f(x,y)
再次对两边求t的导数（注意，将Pf[u(t),v(t)]/Pu、Pf[u(t),v(t)]/Pv看作t的复合函数）：
x^2*P^2f(u,v)/Pu^2+2*x*y*P^2f(u,v)/(Pu*Pv)
    +y^2*P^2f(u,v)/Pv^2=n*(n-1)*t^(n-2)*f(x,y)
                                     =n*(n-1)*t^(n-2)*f(u/t,v/t)
                                       =n*(n-1)*t^(n-2)*(1/t)^n*f(u,v)
u^2*P^2f(u,v)/Pu^2+2*u*v*P^2f(u,v)/(Pu*Pv)+
    +v^2*P^2f(u,v)/Pv^2=n*(n-1)*f(u,v)
上式对于任何u,v都是成立的，因此，若将u、v分别换成x、y也应该是成立的，故题目的结论成立。
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3楼2014-04-13 17:03:55
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子木非花

木虫 (正式写手)
看不懂啊

[ 发自小木虫客户端 ]
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2楼2014-04-13 14:23:30
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匿名

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4楼2014-04-13 19:45:09
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
4楼: Originally posted by zz3476 at 2014-04-13 19:45:09
你的倒数第二步中t^(n-2)*(1/t)^n好像消不掉吧
...

分母剩下t^2,挪到左边正好将原来的x、y全部配成u、v，方程两边变成两边全部为的函数。由于u、v是任意的，将其换成x、y也应成立，这就得证题目了。
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5楼2014-04-13 19:50:58
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