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ck2468

铁杆木虫 (著名写手)

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[交流] 这个积分有什么技巧吗已有12人参与

这个积分很麻烦，有什么技巧吗

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万般皆是命半点不由人未看山头土先观屋下人养病如养虎虎大就伤人便宜无好货贪贱吃穷人不信直不直须防仁不仁

1楼2014-04-04 07:15:03

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shizheng0124

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江雨

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$\int {\frac{{{{\sin }^4}\left( x \right) + {{\cos }^4}\left( x \right)}}{{1 + 4\sin \left( x \right)cos\left( x \right)}}dx}$
$= \int {\frac{{{{\sin }^4}\left( x \right) + {{\cos }^4}\left( x \right)}}{{\left( {1 + 4\sin \left( x \right)cos\left( x \right)} \right)\left( {{{\sin }^2}\left( x \right) + {{\cos }^2}\left( x \right)} \right)}}dx}$
$= \int {\frac{{{{\tan }^4}\left( x \right) + 1}}{{\left( {{{\tan }^2}\left( x \right) + 4\tan \left( x \right) + 1} \right)\left( {{{\tan }^2}\left( x \right) + 1} \right)}}dx}$
$= \int {\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 4t + 1}}dt}$
后面的积分很容易，这里就不给你推导了

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macau,comeon

9楼2014-04-04 13:26:01

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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令u=tg(x/2),x=2*Arctgu ,
dx=2*du/(1+u^2),
Sinx=2*tg(x/2)*Cos^2(x/2)=2*u/(1+u^2),
Cosx=1-2*Sin^2(x/2)=1-2*tg^2(x/2)*Cos^2(x/2)=(1-u^2)/(1+u^2)
代入原式，原积分即可化为有理分式的积分，从而得到解决。

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4楼2014-04-04 10:02:47

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