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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 数学盲，求助高人指点～
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hlghdlg

新虫 (小有名气)

[求助] 数学盲，求助高人指点～ 已有6人参与

求助数学大神，下面的结论正确吗？
若
下面的结论成不成立
（1）若, 则
（2）若,则
如果成立，怎么证明。
坐等大神赐教，感激不尽～

[ Last edited by hlghdlg on 2014-1-14 at 11:27 ]
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1楼 2014-01-14 11:26:00
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hlghdlg

新虫 (小有名气)
自个先顶一个
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2楼2014-01-14 12:10:51
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
hlghdlg: 金币+1 2014-01-14 12:35:01
当然不对，显然和n有关，设n=3,a_1=a_2=a_3=1,b=2
1+1+1>2, 1^2+1^2+1^2<2^2
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3楼2014-01-14 12:15:43
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莲动波光浩月

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
hlghdlg: 金币+1, ★有帮助 2014-01-14 12:25:31
不成立，如a1=3,a2=-4,b=5,r=2；或者a1=1,a2=-1,r=-2,b=根号2，如果想结论成立的话，必须增加条件，如a和b均为非负等
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4楼2014-01-14 12:19:10
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hlghdlg

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 莲动波光浩月 at 2014-01-14 12:19:10
不成立，如a1=3,a2=-4,b=5,r=2；或者a1=1,a2=-1,r=-2,b=根号2，如果想结论成立的话，必须增加条件，如a和b均为非负等

a, b 均非负（条件已加）。能证明吗？
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5楼2014-01-14 12:25:17
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hlghdlg

新虫 (小有名气)
a>0, b>0
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6楼2014-01-14 12:27:37
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hlghdlg

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by jabile at 2014-01-14 12:15:43
当然不对，显然和n有关，设n=3,a_1=a_2=a_3=1,b=2
1+1+1>2, 1^2+1^2+1^2<2^2

1^2+1^2+1^2=1.732^2
1+1+1>1.732
貌似好像成立啊～
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7楼2014-01-14 12:34:51
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nbadlq

铁虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hlghdlg: 金币+20 2014-01-14 12:57:41
等价于
(a1/b)r+....(an/b)r=1
易知0<an/b<1 当r>1时 (an/b)r<an/b
所以   加和an/b>1 即加和an>b   n=1,2,3......
当r<1时 (a1/b)r>an/b
所以 加和an/b<1  即加和an<b    n=1,2,3......
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8楼2014-01-14 12:53:50
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hlghdlg

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by nbadlq at 2014-01-14 12:53:50
等价于
(a1/b)r+....(an/b)r=1
易知0<an/b<1 当r>1时 (an/b)r<an/b
所以   加和an/b>1 即加和an>b   n=1,2,3......
当r<1时 (a1/b)r>an/b
所以 加和an/b<1  即加和an<b    n=1, ...

谢谢高人
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9楼2014-01-14 12:58:09
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
5楼: Originally posted by hlghdlg at 2014-01-14 12:25:17
a, b 均非负（条件已加）。能证明吗？...

首先不妨设 b=1, 否则 考虑 a1/b, a2/b,.., an/b.

先看r>1时，有 (x+y)^r > x^r +y^r, 如果x,y >0.  原因是：
对 r*(t+y)^{r-1} > r* t^{r-1} 从零积到x, 立得 (x+y)^r - y^r > x^r -0.

那么明显有 (a1+a2+...+an)^r > a1^r +...+an^r =1, 因此 a1+..+an>1.

如果 r<1, 那么 1=a1^r+...+an^r =(a1^r+...+an^r)^{1/r} >
(a1^r)*{1/r} +...+(an^r)^{1/r} = a1+。。+an

这就是你的观察结果。
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We_must_know. We_will_know.
10楼2014-01-14 12:59:27
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