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hlghdlg

新虫 (小有名气)

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[求助] 数学盲，求助高人指点～已有6人参与

求助数学大神，下面的结论正确吗？
若 ${a}_{1}^{r}+{a}_{2}^{r}+...+{a}_{n}^{r}={b}^{r}$
下面的结论成不成立
（1）若 $r>1$ , 则 ${a}_{1}+{a}_{2}+...+{a}_{n}>b$
（2）若 $r<1$ ,则 ${a}_{1}+{a}_{2}+...+{a}_{n}<b$
如果成立，怎么证明。
坐等大神赐教，感激不尽～

[ Last edited by hlghdlg on 2014-1-14 at 11:27 ]

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1楼2014-01-14 11:26:00

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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引用回帖:

5楼: Originally posted by hlghdlg at 2014-01-14 12:25:17
a, b 均非负（条件已加）。能证明吗？...

首先不妨设 b=1, 否则考虑 a1/b, a2/b,.., an/b.

先看r>1时，有 (x+y)^r > x^r +y^r, 如果x,y >0. 原因是：
对 r*(t+y)^{r-1} > r* t^{r-1} 从零积到x, 立得 (x+y)^r - y^r > x^r -0.

那么明显有 (a1+a2+...+an)^r > a1^r +...+an^r =1, 因此 a1+..+an>1.

如果 r<1, 那么 1=a1^r+...+an^r =(a1^r+...+an^r)^{1/r} >
(a1^r)*{1/r} +...+(an^r)^{1/r} = a1+。。+an

这就是你的观察结果。