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ifelseend

捐助贵宾 (著名写手)

小蜜蜂

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[求助] 波动叠加里的能量问题

假设我们有两列偏振方向一致的波。比如说：
$E_1(z,t)=E_{10}\cos(\omega t - k z)$ ;
$E_2(z,t)=E_{20}\cos(\omega t - k z+\phi)$ .
他们的频率是相等的。那么依照波的叠加原理：合成
后的振幅应该是：
$E=\sqrt{E_{10}^2+E_{20}^2+2E_{10}E_{20}\cos{\phi}}$ ;
如果在考虑能量：
$I \propto E^2$ 。
你会发现，叠加后的能量是大于叠加前的能量的。

特殊情况，如果两列波是一样的，那么叠加前的能量是 $2I$ ;
其中 $I$ 是一列波的能量，那么叠加后的能量是 $4I$ ;

后来我又想，如果是两个完全一样的激光器。考虑能量守恒的话呢。那么
合成后的振幅，就不应该是 $2E$ ，其中 $E$ 是一列波
的振幅。合成后的振幅应该是 $\sqrt{2}E$ .

于是从此陷入了混乱。

----------------------------憋屈的分割线-------------------------------

我听到的解释有：
1：两个完全一致的波叠加，就成了一个波。反过来想，就是我们提出的问题是
多余的，本来就是一个波。这个叠加是我们臆想出来的。
（这个说法我不认同。不一致的波可以叠加，一致的波当然也可以）

2：叠加后的振幅增大了，波峰大，波谷却更深了，公式里指的是波峰，不是波谷。
（这个回答有点荒诞）

3： $I \propto E^2$ 中的 $I$ 是能量密度。不是能量。能量
正比于： $\int_\tau\; I\; d\tau$ .
（积分和不积分不会有那么大的区别吧，不信服）

4：和绳波类比，两个绳子一起考虑，相当于震动着质点的质量翻倍，所以能量翻倍
是正确的。
（可是电磁震动没有质点概念哦，另外如果三列波叠加呢？）

5：波动理论处理的是叠加后的能量分布问题，即干涉条纹和衍射条纹。整个过程的
的能量问题需要另加修正，或从量子观点描述。这是波动理论的天然缺陷。
（说得通哦）

6：没有计入磁能，如果考虑了磁能，叠加前后的能量就一致了。
（没有算。不过，电矢量可以叠加，磁矢量也是叠加的吧。）

坐等靠谱的说法。

[ Last edited by ifelseend on 2014-1-14 at 10:27 ]

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1楼2014-01-14 10:22:57

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十点钟的咖啡

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 十点钟的咖啡 at 2014-01-14 13:29:41
波的叠加原理来自于麦克斯韦方程：
\partial ^2 _t E(z,t) + c^2 \partical ^2 _z E(z,t) = 0; （1）
由于这是一个先行方程，所以两个解的和仍然是这个方程的解。于是乎就有了
波的叠加原理。但是，麦克斯韦方程 ...

敲错了很多字

1. 公式（1）不是22阶导数，是2阶导数。
2. 第三行改为 “由于这是一个线性方程”。
3. 方程2上一行改为“你确不确定能量密度也可以建立这样的线性偏微分方程？

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3楼2014-01-14 13:36:24

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十点钟的咖啡

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
ifelseend: 回帖置顶 2014-01-14 18:52:54
ifelseend(sweety代发): 金币+5, 鼓励提供有价值的信息 2014-01-15 11:52:25
sweety: 物理EPI+1 2014-01-15 11:52:32

波的叠加原理来自于麦克斯韦方程：
$\partial ^2 _t E(z,t) + c^2 \partical ^2 _z E(z,t) = 0$ ; （1）
由于这是一个先行方程，所以两个解的和仍然是这个方程的解。于是乎就有了
波的叠加原理。但是，麦克斯韦方程是描述是电场的方程，而非描述能量的方
程；确切的说不是描述“能量密度”（energy density)的方程。对于所提到的问
题，在不考虑能量横向分布的情况下（电场不是x和y的函数，而只是z和t的函
数。那么这个问题就等价为，将一个电场 E(z,t)分解为两个场E1(z,t)和E2(z,t)
这是完全可行的，因为，如果E1和E2是麦克斯韦方程的解，那么E(z,t)一定是
方程的解；反之亦然。
$E(z,t)=E_1(z,t)+E_2(z,t)$
然后，按照你的描述，我们分别计算E_1(z,t)的能量密度和E_2(z,t)的能量密度
得到了I1和I2，把I1和I2加起来，你认为是总的能量密度。这个分析实际上是在
偷偷的套用“能量密度的叠加原理”。问题是能量密度是不是存在叠加原理？
我们已经知道波动的叠加原理，或者是电场的叠加是来自方程（1）。你却不确
定能量密度也可以建立这样的线性偏微分方程？。我们看：
$I(z,t)=\alpha E(z,t)^2$ ; （2）
E(z,t)满足一个线性的方程。那么I(z,t)是不是满足某个线性方程。不妨把（2）
代入带（1）里面看看。其实电磁能量密度不是线性的。不满足线性叠加原理。
I1+I2不是能量密度，他什么都不是。（E1+E2）*（E1+E2）才是能量密度。
从开始到结束都要这么计算。

以上说明的是两束共线传播的光，如果想你所说的，两个激光器的光。那么就
要清楚能量密度这个概念，两束光交汇了，交汇处的能量密度必然翻倍，因为
那里的横截面积变成一半了。

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2楼2014-01-14 13:29:41

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