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math2000

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[求助] 求助一道数学分析试题----函数构造

请高手解答一道构造试题，谢谢

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1楼 2014-01-05 13:39:42

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Pchief

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feixiaolin: 回帖置顶 2014-01-06 13:46:51

首先作一非负连续函数 $h(x,y)$ ，使其支撑集在单位圆 $B(0,1)$ 内，且

$\iint_{B(0,1)}h(x,y)dxdy=a>0,\quad \iint_{B(0,1)}h^2(x,y)dxdy=b^2>0$

其次，由于 $D$ 为无界闭区域，容易取 $D$ 内一列不相交的圆盘 $B(P_n, r_n)$ ，使得其中心   $P_n=(x_n,y_n)\to\infty$ ，并且级数 $\sum_{n=1}^\infty r_n$ 收敛。于是令

$f(x,y) \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{r_n}h(\frac{(x-x_n)}{r_n}, \frac{(y-y_n)}{r_n})$
则此 $f(x,y)$
符合要求：

$\iint_D f(x,y)dxdy = \sum_{n=1}^\infty \iint_{B(P_n, r_n)}  \frac{1}{r_n}h(\frac{(x-x_n)}{r_n}, \frac{(y-y_n)}{r_n}) dxdy = a \sum_{n=1}^\infty r_n<\infty,$
$\iint_D f^2(x,y)dxdy = \sum_{n=1}^\infty \iint_{B(P_n, r_n)}  \frac{1}{r_n^2}h^2(\frac{(x-x_n)}{r_n}, \frac{(y-y_n)}{r_n}) dxdy = b^2 \sum_{n=1}^\infty 1=\infty.$

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math2000

4楼2014-01-05 22:12:57

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Pchief

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math2000(feixiaolin代发): 金币+30 2014-01-06 13:46:25

如果我没理解错，一个闭区域 $D$ 应该包含一个闭圆盘 $D_0=\{(x,y): (x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leqslant \rho^2\}$ ，则答案极度简单：

$f(x,y)=\max\{\frac{1}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\frac{1}{\rho^2},\ 0\}$

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2楼2014-01-05 21:32:10

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Pchief at 2014-01-05 21:32:10
如果我没理解错，一个闭区域 D 应该包含一个闭圆盘 D_0=\{(x,y): (x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leqslant \rho^2\}，则答案极度简单：

f(x,y)=\max\{\frac{1}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\frac{1}{\rho^2},\ 0\}...

嗯，不好意思，漏看了条件……

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3楼2014-01-05 21:34:26

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引用回帖:

4楼: Originally posted by Pchief at 2014-01-05 22:12:57
首先作一非负连续函数 h(x,y)，使其支撑集在单位圆 B(0,1) 内，且

\iint_{B(0,1)}h(x,y)dxdy=a>0,\quad \iint_{B(0,1)}h^2(x,y)dxdy=b^2>0

其次，由于 D 为无界闭区域，容易取 D 内一列不相交的圆盘 B( ...

非常感谢，你点一下回复帮助，否则我没办法给你金币！

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5楼2014-01-05 22:53:47

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