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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助矩阵的奇异值分解高手，除了2个正交阵，中间那个阵的形式问题
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everfx

铜虫 (正式写手)

[求助] 求助矩阵的奇异值分解高手，除了2个正交阵，中间那个阵的形式问题 已有1人参与

在实数域讨论问题，给定一个矩阵A，那么由奇异值分解定理知存在正交阵P和Q使得（参见罗家洪第4版矩阵分析引论P84）
P'AQ=[D,0;0,0]，其中P'为P的转置阵，从而A=P[D,0;0,0]Q'。矩阵[D,0;0,0]我是按matlab里面的格式写的，就是D,0的第一行，0,0是第2行。

现在的问题是，是否存在M，N和E阵，从而可以将A写成A=M[E;0]N的形式？其中M与N为正交阵，E为可逆阵。如果可以的话，请给个证明过程，如果不可以，请也给出证明，谢谢。

所有矩阵都是常值矩阵。（显然[D,0]不是可逆阵。）

[ Last edited by everfx on 2013-12-26 at 21:48 ]
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1楼 2013-12-26 21:42:19
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小飞473

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主，我的回答算不上帮助，完整的奇异值分解可以利用分块矩阵的办法进一步化简为A=P1DQ1'，即中间的矩阵只是一个对角阵，这时如果再对P1和Q1阵进行扩充的话，不知道能否得到楼主想要的矩阵。
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2楼2013-12-28 16:11:26
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
如果 A 能写成 M[E;0]N 这种形式，并且M,E,N 如楼主所说，那么必要条件显然是 A 的秩应该等于它的列数，不满足这一条件的 A 自然就无法如此表示。
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3楼2013-12-29 12:06:37
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everfx

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Pchief at 2013-12-29 12:06:37
如果 A 能写成 MN 这种形式，并且M,E,N 如楼主所说，那么必要条件显然是 A 的秩应该等于它的列数，不满足这一条件的 A 自然就无法如此表示。

不愧为专家，佩服！那个，要是Ａ列满秩，那么是不是就可以写出这种形式？是不是就可以说，写出这种形式的必要充分条件是Ａ列满秩？
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4楼2013-12-29 21:01:17
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everfx

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Pchief at 2013-12-29 12:06:37
如果 A 能写成 MN 这种形式，并且M,E,N 如楼主所说，那么必要条件显然是 A 的秩应该等于它的列数，不满足这一条件的 A 自然就无法如此表示。

应助回帖啊，我好给你金币。
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5楼2013-12-29 21:02:21
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everfx

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 小飞473 at 2013-12-28 16:11:26
楼主，我的回答算不上帮助，完整的奇异值分解可以利用分块矩阵的办法进一步化简为A=P1DQ1'，即中间的矩阵只是一个对角阵，这时如果再对P1和Q1阵进行扩充的话，不知道能否得到楼主想要的矩阵。

谢谢，楼下的回复的不错。
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6楼2013-12-29 21:02:42
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
everfx(feixiaolin代发): 金币+30 2013-12-30 13:53:05
引用回帖:
4楼: Originally posted by everfx at 2013-12-29 21:01:17
不愧为专家，佩服！那个，要是Ａ列满秩，那么是不是就可以写出这种形式？是不是就可以说，写出这种形式的必要充分条件是Ａ列满秩？...

这条件自然也是充分的：

求助矩阵的奇异值分解高手，除了2个正交阵，中间那个阵的形式问题


另：我不要金币，你可以向版主申请退还金币
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7楼2013-12-30 11:57:01
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everfx

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Pchief at 2013-12-30 11:57:01
这条件自然也是充分的：




另：我不要金币，你可以向版主申请退还金币...

厉害！向你这样的高手看起，。
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8楼2013-12-30 14:16:24
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