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两道数学分析题目，快考试了，很着急，谢谢大家 已有2人参与
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数学分析题目，快考试了，比较着急知道答案，还请大家帮忙看看  |
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
hanbinddd(feixiaolin代发): 金币+25 2013-12-17 00:03:41
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第一题： 因为Integral{f(x)*dx,0,∞}收敛，故x趋于无穷时f(x)趋于零， 又由x*f(x)在[a,∞)上单调，有趋向无穷时x*f(x)趋向零。这是因为若它不趋向零，则存在一个正常数C,有x*f(x)>C或x*f(x)<-C,无论哪种情况，Integral{f(x)*dx,0,∞}均发散，与题设条件矛盾。因此，存在一个正数β，使得ABS[f(x)]<x^[-(1+β)] 由罗比塔法则： ABS{lim[x*f(x)*lnx]}=lim{x*ABS[f(x)]/[1/(lnx)]} <lim{x*x^[-(1+β)]*lnx}=lim[x^(-β)/β]=0 故当x趋向无穷时，lim[x*f(x)*lnx]}=0 证毕。 |
4楼2013-12-16 23:55:24
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feixiaolin: 金币+2 2013-12-17 07:46:06
feixiaolin: 金币+2 2013-12-17 07:46:06
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若 f(x)=1/(x ln(x) ), 则 x*f(x)= 1/ln(x) 单调趋于零, 但不存在 a>0 使得 x*f(x) < x^{-a}. 针对这些例外情况, peterflyer指出 , xf(x)单调趋于零, 不妨设f(x)>=0, 否则可以考虑 -f(x). 那么 由积分中值定理, 0 <--- Integral [ ( x*f(x)) * 1/x , {x, A, A^2} ] =(c*f(c)) * Integral [1/x, {x, A, A^2}] (A<C<A^2) =c*f(c)*ln(A) > A^2 * f(A^2) * 1/2*ln(A^2). 令A^2=y, 因此 y*f(y)*ln(y) 趋于0. |
5楼2013-12-17 05:27:39
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6楼2013-12-17 08:30:39
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7楼2013-12-17 09:54:57
hank612
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