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hanbinddd

铜虫 (小有名气)

[求助] 两道数学分析题目,快考试了,很着急,谢谢大家 已有2人参与

数学分析题目,快考试了,比较着急知道答案,还请大家帮忙看看


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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

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感谢参与,应助指数 +1
hanbinddd(feixiaolin代发): 金币+25 2013-12-17 00:03:41
第一题:
因为Integral{f(x)*dx,0,∞}收敛,故x趋于无穷时f(x)趋于零,
又由x*f(x)在[a,∞)上单调,有趋向无穷时x*f(x)趋向零。这是因为若它不趋向零,则存在一个正常数C,有x*f(x)>C或x*f(x)<-C,无论哪种情况,Integral{f(x)*dx,0,∞}均发散,与题设条件矛盾。因此,存在一个正数β,使得ABS[f(x)]<x^[-(1+β)]
由罗比塔法则:
ABS{lim[x*f(x)*lnx]}=lim{x*ABS[f(x)]/[1/(lnx)]}
                             <lim{x*x^[-(1+β)]*lnx}=lim[x^(-β)/β]=0
故当x趋向无穷时,lim[x*f(x)*lnx]}=0

证毕。
4楼2013-12-16 23:55:24
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2013-12-17 05:27:39
若 f(x)=1/(x ln(x) ),  则 x*f(x)= 1/ln(x) 单调趋于零, 但不存在 a>0 使得 x*f(x) < x^{-a}.

针对这些例外情况, peterflyer指出 , xf(x)单调趋于零, 不妨设f(x)>=0, 否则可以考虑 -f(x).
那么 由积 ...

阁下举得这个反例恐怕不能成立。阁下还要记得题中还有个条件,就是f(x)在[a,∞)上的积分收敛,若f(x)=1/[x*lnx],则积分结果为ln(lnx),当x趋于无穷时是发散的,与题意不符。
6楼2013-12-17 08:30:39
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer



feixiaolin: 金币+1, 赞一个。 2013-12-17 10:33:52
再由广义积分Integral{1/x^p*dx, a, ∞}的结果,当且仅当p>1时收敛;当p≤1时积分发散。若不存在p=1+β>1,使得ABS[f(x)]<x^(-p),则f(x)在区间[a,∞)上的广义积分必然发散,这就与题中的给定的“广义积分收敛”这个条件相矛盾了。由此得到结论。
7楼2013-12-17 09:54:57
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