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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 两道数学分析题目，快考试了，很着急，谢谢大家
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hanbinddd

铜虫 (小有名气)

[求助] 两道数学分析题目，快考试了，很着急，谢谢大家 已有2人参与

数学分析题目，快考试了，比较着急知道答案，还请大家帮忙看看
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1楼 2013-12-16 17:42:33
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hanbinddd(feixiaolin代发): 金币+25 2013-12-17 00:03:41
第一题：
因为Integral{f(x)*dx,0,∞}收敛，故x趋于无穷时f(x)趋于零，
又由x*f(x)在[a,∞)上单调，有趋向无穷时x*f(x)趋向零。这是因为若它不趋向零，则存在一个正常数C,有x*f(x)>C或x*f(x)<-C,无论哪种情况，Integral{f(x)*dx,0,∞}均发散，与题设条件矛盾。因此，存在一个正数β，使得ABS[f(x)]<x^[-(1+β)]
由罗比塔法则：
ABS{lim[x*f(x)*lnx]}=lim{x*ABS[f(x)]/[1/(lnx)]}
                             <lim{x*x^[-(1+β)]*lnx}=lim[x^(-β)/β]=0
故当x趋向无穷时，lim[x*f(x)*lnx]}=0

证毕。
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4楼2013-12-16 23:55:24
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hanbinddd

铜虫 (小有名气)
求大神指点

[ 发自小木虫客户端 ]
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2楼2013-12-16 20:03:05
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★
feixiaolin: 金币+2 2013-12-17 07:46:06
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2013-12-16 23:55:24
第一题：
因为Integral{f(x)*dx,0,∞}收敛，故x趋于无穷时f(x)趋于零，
又由x*f(x)在[a,∞)上单调，有趋向无穷时x*f(x)趋向零。这是因为若它不趋向零，则存在一个正常数C,有x*f(x)>C或x*f(x)<-C,无论哪种情 ...

若 f(x)=1/(x ln(x) ),  则 x*f(x)= 1/ln(x) 单调趋于零, 但不存在 a>0 使得 x*f(x) < x^{-a}.

针对这些例外情况, peterflyer指出 , xf(x)单调趋于零, 不妨设f(x)>=0, 否则可以考虑 -f(x).
那么 由积分中值定理,  
0  <---  Integral [ ( x*f(x)) * 1/x , {x, A, A^2} ]
=(c*f(c)) * Integral [1/x, {x, A, A^2}]   (A<C<A^2)
=c*f(c)*ln(A)
> A^2 * f(A^2) * 1/2*ln(A^2).
令A^2=y,  因此  y*f(y)*ln(y) 趋于0.
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We_must_know. We_will_know.
5楼2013-12-17 05:27:39
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2013-12-17 05:27:39
若 f(x)=1/(x ln(x) ),  则 x*f(x)= 1/ln(x) 单调趋于零, 但不存在 a>0 使得 x*f(x) < x^{-a}.

针对这些例外情况, peterflyer指出 , xf(x)单调趋于零, 不妨设f(x)>=0, 否则可以考虑 -f(x).
那么 由积 ...

阁下举得这个反例恐怕不能成立。阁下还要记得题中还有个条件，就是f(x)在[a,∞)上的积分收敛，若f（x）=1/[x*lnx],则积分结果为ln(lnx)，当x趋于无穷时是发散的，与题意不符。
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6楼2013-12-17 08:30:39
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