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请教一个图论问题！
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图G是一个2-连通图，即不存在割点。 证明：对于任意u∈V(G)，存在u的某个邻点v，使得G－u－v连通。 |
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hank612
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feixiaolin: 金币+2, Hank612很活跃，常应助一些疑难问题。颁数学EPI一枚。 2013-11-28 09:24:48
dameng: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 果然是高手！ 2013-11-28 11:46:35
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根据Menger定理, a graph is k-connected if and only if it contains k independent paths between any two vertices. 现在假设在图 G-{v}中, 删除任意一个邻居(u~v), 都将使得G-{u}-{v}不连通. 这意味着,存在x,y 在G-{v}, 使得所有连接x到y的道路Path, 一定经过u. 那么, x,y在G中一定有一条道路通过v, 并且跟上述经过u的道路没有在内部相交.换句话说, 存在z,w 均为v的邻居, 使得: x--z--v--w--y, 并且 z,w,u 均不相同. 下一步, 忘记所有不是v邻居的顶点, 只考虑v邻居们形成的三元组(z,u,w), 使它们满足: 从z到w在G-{v}中必须要经过u. 我们还可以额外要求, 从z到u不经过v的任何邻居, 从u到w也不经过 v的任何邻居. 我们可以证明, 一定有另外邻居 a, 使得 (a, z, u). 要不然, 所有邻居都可以不通过z到达u, 那么对顶点z, 它们可以通过u中转,就没有三元组(a,z,b)以z为必经之地了, 这和我们的假设不符. 那么, 由于v邻居只有有限个, 所以一定有个顶点p, 使得, p - a1 -a2 -a3-...- an-p, 其中, p, a1,..,an各不相同, (p, a1, a2), (a1, a2, a3) 等等都是三元组. 可是, 这就是矛盾所在, 因为p可以反过来经过an -a(n-1)-..-a3到达a2, 并且这条道路上仅有的v的邻居就是an ,a(n-1),..,a3, 但是不用经过a1. |
2楼2013-11-28 06:13:23
hank612
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