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求助高代一个关于秩的结论证明
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2楼2013-11-26 15:08:20
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【答案】应助回帖
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feixiaolin: 金币+5, 应助指数+1, 不错 2013-11-27 22:12:20
feixiaolin: 金币+5, 应助指数+1, 不错 2013-11-27 22:12:20
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丢脸丢到姥姥家了，我又犯“容易看出”，“不难得到”之类的错误了。   现在来个笨办法。 设 P^{-1} A P= a, Q^{-1} B Q=b 为相应Jordan 标准型， 即 (P^{-1} 0; 0 Q^{-1}) * M * (P 0; 0 Q) = (a c; 0 b). 当然 Rank (a c; 0 b)=Rank（M）不变. 现在做列变换：从矩阵a的非零对角元素， 可以消去那一行 (a c; 0 b)中所有其他非零元（通过列变换变成零）。 再作行变换：从矩阵b的非零对角元素， 可以消去那一列 (a c; 0 b)中所有其他非零元（通过行变换变成零）。 初等行变换，初等列变换都不改变矩阵的Rank。 现在矩阵长啥样？ a 小块是对角矩阵，b小块也是对角矩阵， c 小块只有在跟不和 a 小块非零横方向冲突并且不和 b 小块非零纵方向冲突的角落里还可能有些非零元。 因此， rank(M) 来自三块， rank(M)= rank(a) + rank(b) + rank(C~). 其中， C~是c 小块中残存的（可能的）非零小块。 |
7楼2013-11-27 00:27:00
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