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shy1992331

新虫 (小有名气)

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[交流] 高等代数中关于矩阵的一个等式已有1人参与

X：n*p, L:q*p 满足rank(M)-rank(X)=rank(L)以及rank(M)=p 其中M是一个组合矩阵，上面为X下面为L的一个(n+q)*p的矩阵（即：M'=(X' L')）证明：LAX'=0,其中A=(X'X+L'L)的逆

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1楼2013-11-01 22:50:30

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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性别: GG
专业: 理论和计算化学

★
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考虑R^p的两个子空间 Im(X') 与 Im(L'). 由于Im(X') + Im(L') = Im (W), 因此
Rank( Im(X')交Im(L') )
= Rank[ Im(X') ] + Rank[ Im(L') ] - Rank[ Im(X') + Im(L') ]
=rank(X)+rank(L)-rank(W)
=0.
对于任意u, 由于X'u 属于R^p 且 (X'X+L'L) 可逆, 设 X'u= (X'X +L'L) y,
那么 L'L y = X' (u-Xy) =0 因为子空间交为零.
内积 (Ly,Ly)=(L'Ly, y)=0, 即 Ly=0.
从而内积 (A X' u, L'w) = (y, L'w) = (Ly, w) =0, 对于任意 u, w.
因此 L A X' =0.

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We_must_know. We_will_know.

2楼2013-11-02 04:36:42

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