版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

xc79522

铜虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 174
帖子: 17
在线: 15.2小时
虫号: 2396242
注册: 2013-04-02
性别: GG
专业: 化工热力学和基础数据

[求助] (阶乘)数列求和

翻看了一下坛子里的相关内容，觉得应该是发在这里最合适了。要是这里不合适，请大家告知我一下。

我在对一化学过程数学建模时，得到一数学关系，是一数列，其中各项表达如下：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}}$

其中：

i = 自然数，即1, 2, 3, ... 正无穷
a, b = 均为不同的、大于0的正整数
${x_0}$ = 大于0的正整数

求：在i趋于无穷大时，此数列的和，即： $\sum\limits_{i = 1}^\infty{{x_i}}$

-----------------------------------分割线-----------------------------------

目前，我自己做了下面的尝试，把此数列中各项都用 ${x_0}$ 来表达，即：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 2}}{{i - 1}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {{\left( {i - 1} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 3}}{{i - 2}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {{\left( {i - 2} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot\cdots\cdot \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0} = \frac{{\left[ {{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]!}}{{\left( {1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}} \right)!}} \cdot {x_0}$
如果这样没错的话，则得到 ${x_i}$ 的通项公式为一阶乘表达式（我不确定，这个用阶乘表达的通项公式我是否写的数学上正确）。但到了这步后，我就进行不下去了，不知该怎样求此数列的和。google了一下，似乎有提到Stirling's approximation，不知对口不对口。

恳请大家的帮助！非常感谢先！

[ Last edited by xc79522 on 2013-8-30 at 11:23 ]

回复此楼

» 猜你喜欢

289材料与化工（085600）B区求调剂已经有5人回复
B区考研调剂已经有4人回复
284求调剂已经有11人回复
0854电子信息求调剂已经有8人回复
292求调剂已经有3人回复
340求调剂已经有5人回复
生物学学硕求调剂已经有10人回复
上海电力大学材料防护与新材料重点实验室招收调剂研究生（材料、化学、电化学，环境）已经有4人回复
材料学求调剂已经有6人回复
303求调剂已经有5人回复

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

留心作正经事业

1楼 2013-08-30 18:06:17

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

引用回帖:

6楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-31 00:48:34
让c=a/b, 简化一点点. 先看分母上的连乘积. Prod_{k=1}^ infty ( 1+c*k^(-7/6) )的收敛性.
正项连乘级数的收敛性等价于相应的对数连和级数收敛性.
Log ( Prod_{k=1}^ infty ( 1+c*k^(-7/6) ) ) = Sum_{k=1}^In ...

搂主, 我用Matlab作了一下图, 发现序列和很有规律. 你用Log 或者 x^k (k<1) 试试拟合吧.
附源程序. 参数可以调整. X(k)是趋于零的,我没画. Y(K)是分母部分, 可以看出是收敛的.

clear all
N=1000;
X=zeros(1,N); S=zeros(1,N); Y=zeros(1,N);
X(1)=5; S(1)=X(1); Y(1)=X(1); c=2/3;
for k=2:N
   X(k)=((k-1)/k)^(2/3)*X(k-1)/(1+c*k^(-7/6));
   S(k)= S(k-1)+X(k);
   Y(k)=k^(2/3)*X(k);
end
plot ( 1:N, Y(1:N), 'r', 1:N, S(1:N),'b*')

series.jpg

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

7楼2013-08-31 04:07:34

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 8 个回答

yunmeng57

禁虫 (初入文坛)

本帖内容被屏蔽

2楼2013-08-30 21:29:22

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

xc79522

铜虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 174
帖子: 17
在线: 15.2小时
虫号: 2396242
注册: 2013-04-02
性别: GG
专业: 化工热力学和基础数据

引用回帖:

2楼: Originally posted by yunmeng57 at 2013-08-30 14:29:22
分母不对，分母不是阶乘，是连乘！

谢谢回复！

你是指分母用阶乘表达不对，是么？

但分母和分子中都只是 i 逐一递增。

若分母不是阶乘，那分子也应该不是阶乘吧。

赞一下

回复此楼

留心作正经事业

3楼2013-08-30 21:50:05

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

daxiaobing

金虫 (小有名气)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2636.2
散金: 291
红花: 37
帖子: 190
在线: 77.8小时
虫号: 1669340
注册: 2012-03-06
专业: 数论

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

分子分母都不是阶乘！

[ 发自小木虫客户端 ]

赞一下

回复此楼

4楼2013-08-31 00:13:49

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 8 个回答

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 085601求调剂总分293英一数二 +3	钢铁大炮 2026-03-24	3/150	2026-03-24 22:03 by bingxueer79
[考研] 07化学280分求调剂 +6	722865 2026-03-23	6/300	2026-03-24 20:58 by allen-yin
[考研] 资源与环境调剂申请(333分) +7	holy J 2026-03-21	7/350	2026-03-24 17:24 by xiaohai104
[考研] 306求0703调剂一志愿华中师范 +10	纸鱼ly 2026-03-21	11/550	2026-03-24 17:22 by qingfeng258
[考研] 081700 调剂 267分 +9	迷人的哈哈 2026-03-23	9/450	2026-03-24 11:58 by 544594351
[考研] 0703化学求调剂 +4	奶油草莓. 2026-03-22	5/250	2026-03-23 19:37 by pswait
[考研] 333求调剂 +6	87639 2026-03-21	10/500	2026-03-23 10:41 by Iveryant
[考研] 一志愿070300浙大化学358分，求调剂！ +4	酥酥鱼.. 2026-03-21	4/200	2026-03-23 08:12 by Iveryant
[考研] 石河子大学（211、双一流）硕博研究生长期招生公告 +3	李子目 2026-03-22	3/150	2026-03-22 21:01 by 怎么释怀
[考研] 寻找调剂 +4	倔强芒? 2026-03-21	4/200	2026-03-22 16:14 by 木托莫露露
[考研] 298求调剂一志愿211 +3	上岸6666@ 2026-03-20	3/150	2026-03-22 15:50 by ColorlessPI
[考研] 269专硕求调剂 +6	金恩贝 2026-03-21	6/300	2026-03-22 14:31 by ColorlessPI
[考研] 一志愿武理材料305分求调剂 +6	想上岸的鲤鱼 2026-03-18	7/350	2026-03-21 01:03 by JourneyLucky
[考研] 296求调剂 +6	www_q 2026-03-18	10/500	2026-03-20 23:56 by JourneyLucky
[考研] 294求调剂材料与化工专硕 +15	陌の森林 2026-03-18	15/750	2026-03-20 23:28 by JourneyLucky
[考研] 一志愿西北大学，070300化学学硕，总分287，双非一本，求调剂。 +4	晨昏线与星海 2026-03-19	4/200	2026-03-20 22:15 by JourneyLucky
[考研] 求调剂一志愿南京航空航天大学289分 +3	@taotao 2026-03-19	3/150	2026-03-20 21:34 by JourneyLucky
[考研] 一志愿西南交通专硕材料355 本科双非求调剂 +5	西南交通专材355 2026-03-19	5/250	2026-03-20 21:10 by JourneyLucky
[考研] 085600材料与化工调剂 324分 +10	llllkkkhh 2026-03-18	12/600	2026-03-19 14:33 by llllkkkhh
[考研] 本科郑州大学物理学院，一志愿华科070200学硕，346求调剂 +4	我不是一根葱 2026-03-18	4/200	2026-03-19 09:11 by 浮云166