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xc79522

铜虫 (初入文坛)

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[求助] (阶乘)数列求和

翻看了一下坛子里的相关内容，觉得应该是发在这里最合适了。要是这里不合适，请大家告知我一下。

我在对一化学过程数学建模时，得到一数学关系，是一数列，其中各项表达如下：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}}$

其中：

i = 自然数，即1, 2, 3, ... 正无穷
a, b = 均为不同的、大于0的正整数
${x_0}$ = 大于0的正整数

求：在i趋于无穷大时，此数列的和，即： $\sum\limits_{i = 1}^\infty{{x_i}}$

-----------------------------------分割线-----------------------------------

目前，我自己做了下面的尝试，把此数列中各项都用 ${x_0}$ 来表达，即：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 2}}{{i - 1}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {{\left( {i - 1} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 3}}{{i - 2}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {{\left( {i - 2} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot\cdots\cdot \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0} = \frac{{\left[ {{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]!}}{{\left( {1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}} \right)!}} \cdot {x_0}$
如果这样没错的话，则得到 ${x_i}$ 的通项公式为一阶乘表达式（我不确定，这个用阶乘表达的通项公式我是否写的数学上正确）。但到了这步后，我就进行不下去了，不知该怎样求此数列的和。google了一下，似乎有提到Stirling's approximation，不知对口不对口。

恳请大家的帮助！非常感谢先！

[ Last edited by xc79522 on 2013-8-30 at 11:23 ]

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1楼 2013-08-30 18:06:17

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xc79522

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引用回帖:

2楼: Originally posted by yunmeng57 at 2013-08-30 14:29:22
分母不对，分母不是阶乘，是连乘！

谢谢回复！

你是指分母用阶乘表达不对，是么？

但分母和分子中都只是 i 逐一递增。

若分母不是阶乘，那分子也应该不是阶乘吧。

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留心作正经事业

3楼2013-08-30 21:50:05

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yunmeng57

禁虫 (初入文坛)

本帖内容被屏蔽

2楼2013-08-30 21:29:22

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daxiaobing

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

分子分母都不是阶乘！

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4楼2013-08-31 00:13:49

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【答案】应助回帖

都是连乘，其中分子可以化简合并一下

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5楼2013-08-31 00:19:08

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