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xc79522

铜虫 (初入文坛)

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[求助] (阶乘)数列求和

翻看了一下坛子里的相关内容，觉得应该是发在这里最合适了。要是这里不合适，请大家告知我一下。

我在对一化学过程数学建模时，得到一数学关系，是一数列，其中各项表达如下：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}}$

其中：

i = 自然数，即1, 2, 3, ... 正无穷
a, b = 均为不同的、大于0的正整数
${x_0}$ = 大于0的正整数

求：在i趋于无穷大时，此数列的和，即： $\sum\limits_{i = 1}^\infty{{x_i}}$

-----------------------------------分割线-----------------------------------

目前，我自己做了下面的尝试，把此数列中各项都用 ${x_0}$ 来表达，即：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0} = \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 2}}{{i - 1}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {{\left( {i - 1} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 3}}{{i - 2}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {{\left( {i - 2} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot\cdots\cdot \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{b}{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0} = \frac{{\left[ {{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]!}}{{\left( {1 + \frac{b}{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}} \right)!}} \cdot {x_0}$
如果这样没错的话，则得到 ${x_i}$ 的通项公式为一阶乘表达式（我不确定，这个用阶乘表达的通项公式我是否写的数学上正确）。但到了这步后，我就进行不下去了，不知该怎样求此数列的和。google了一下，似乎有提到Stirling's approximation，不知对口不对口。

恳请大家的帮助！非常感谢先！

[ Last edited by xc79522 on 2013-8-30 at 11:23 ]

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1楼 2013-08-30 18:06:17

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
xc79522: 金币+5, ★★★很有帮助, 非常感谢！ 2013-09-24 14:10:10

让c=a/b, 简化一点点. 先看分母上的连乘积. Prod_{k=1}^ infty  ( 1+c*k^(-7/6) )的收敛性.
正项连乘级数的收敛性等价于相应的对数连和级数收敛性.
Log ( Prod_{k=1}^ infty  ( 1+c*k^(-7/6) ) ) = Sum_{k=1}^Infty Log(( 1+c*k^(-7/6) ) ) )
由于 Log(1+x) ~ x 当x在零点附近, 所以求和级数大致为  c* Sum_{k=1}^Infty  k^(-7/6) . 这是一个标准的收敛级数, 且级数和不为零. 因此Prod_{k=1}^ infty  ( 1+c*k^(-7/6) )=d >0.  某个正数d.
再看楼主推导出的通项公式, 分子上的连乘是可以互相抵消的, 只剩下 (1/k)^{2/3}.
也就是说, 大体上 x_k ~ k^{-2/3} * d * x_0. 这个级数是个标准的发散级数. 楼主还是专心找部分求和 (有意义的截段)数值解吧.
附录: 级数 Sum_{n=1}^{infty}  1/ n^a  收敛, 当 a>1.    发散, 当 0<a<=1.