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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请问是否任意方阵都可以变成对角化矩阵
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luqing6879

木虫 (著名写手)

[求助] 请问是否任意方阵都可以变成对角化矩阵

如果不是的话，什么样的矩阵可以进行对角化？

或者说，一个矩阵是否一定存在相似变换矩阵？什么样的矩阵存在相似变换矩阵？

谢谢。
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1楼 2013-04-26 04:09:06
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梁萍萍

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
luqing6879: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 谢谢。 2013-04-27 00:44:43
不是所有的矩阵都可以对角化，相似对角化的充分必要条件:是原矩阵A的特征值对应的特征向量要等于n个，但是不要求特征值等于n,也就是说若有一个特征值是重根，比如说A是3阶矩阵，X1=X2是二重根那么对应的特征多项式的秩必须是3-2=1，只有这样子才会解出两个特征向量。那么A可以对角化，并且对角元素就是特征值。不知道这么说你会不会懂，书上有例题。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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4楼2013-04-26 09:14:18
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
luqing6879: 金币+1, ★有帮助, 谢谢。 2013-04-27 00:43:17
n阶方阵可对角化的充分必要条件是它有n个线性无关的特征向量. 不过这话说了等于没说, 因为不具备可操作性. 真正要解决这个问题需要用到极小多项式(也叫最小多项式)的概念, 可以证明矩阵可对角化的充分必要条件是它的极小多项式可分解为互素的一次因式的乘积. 这不是一两句话能说清的事情, 还是去看书吧.
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2楼2013-04-26 04:45:01
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188052897

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
luqing6879: 金币+4, ★★★很有帮助, 谢谢。不过关于第一点，我想应该允许存在兼并解。 2013-04-27 00:44:03
1.如果方阵的特征值互不相同，该方阵一定可以对角化（这是充分条件）；
2.对称矩阵一定可以对角化。
3.求出（或证明）方阵所有线性无关的特征向量的个数=阶数n（这是充要条件，最麻烦，一般求特征向量时顺带得到）
4.一般构造可逆阵或者正交阵使得方阵可对角化。
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3楼2013-04-26 09:04:58
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