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甜芯儿葱

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[求助] 求证不等式

请问能否由图中第一个不等式推出第二个？或者想要由第一个推出第二个需要什么条件呢？主要是证明不等式的右面，貌似左面我可以证出来。俺需要主要的过程~谢谢各位大神了！

证明.jpg

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1楼 2013-04-08 19:38:30

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schianck

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我做了一种证明，希望可以满意

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附件 1 : 不等式.png

2013-04-08 22:05:26, 9.17 K

每个人都是天使！

2楼2013-04-08 22:05:32

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weft

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

右边不等式一般不成立，见附件中的反例。

inequality.png

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3楼2013-04-09 06:02:56

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甜芯儿葱

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3楼: Originally posted by weft at 2013-04-09 06:02:56
右边不等式一般不成立，见附件中的反例。

inequality.png

那请问有没有可能给出一个限定条件，说明在怎样的情况下能够得到右边的不等式？

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4楼2013-04-09 11:49:53

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2楼: Originally posted by schianck at 2013-04-08 22:05:32
我做了一种证明，希望可以满意

楼下给出反例了………………请问能否找到限定条件，使右边成立？

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5楼2013-04-09 12:54:10

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【答案】应助回帖

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4楼: Originally posted by 甜芯儿葱 at 2013-04-09 11:49:53
那请问有没有可能给出一个限定条件，说明在怎样的情况下能够得到右边的不等式？...

应该是可以的，一个最直接的观察就是加上一定的凸性条件，考虑三元函数 ${f(x,y,z)= \frac{x^2}{y^2+z^2}}$ ，那么你的条件等价于 ${f(A_1,B_1,C_1) < f(A_2,B_2,C_2) }$ ，而你想要的不等式实际上等价于 ${f(A_1,B_1,C_1) < f(\frac{A_1+A_2}{2},\frac{B_1+B_2}{2}, \frac{C_1+C_2}{2}) < f(A_2,B_2,C_2) }$ ，也就是相当于一个内插不等式。我的一个不成熟的想法是：根据凸函数的理论，如果你能够证明那个三元函数是一个凸函数（类比一下一元的凸函数），那么这个内插不等式是有可能成立的。当然还需要加一些别的技术性假设，比如函数f在连接 ${(A_1,B_1,C_1),(A_2,B_2,C_2) }$ 这两个点的线段的内部没有极小值点。所有这些都是通过观察一元凸函数的性质得到的。

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6楼2013-04-09 13:27:02

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6楼: Originally posted by weft at 2013-04-09 13:27:02
应该是可以的，一个最直接的观察就是加上一定的凸性条件，考虑三元函数{f(x,y,z)= \frac{x^2}{y^2+z^2}}，那么你的条件等价于{f(A_1,B_1,C_1) < f(A_2,B_2,C_2) }，而你想要的不等式实际上等价于{f(A_1,B_1,C_1 ...

在上述假设之下，详细的证明应该不是很难，几何直观是很明显的，但是比较啰嗦，你自己可以先试试看。

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7楼2013-04-09 13:29:04

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7楼: Originally posted by weft at 2013-04-09 13:29:04
在上述假设之下，详细的证明应该不是很难，几何直观是很明显的，但是比较啰嗦，你自己可以先试试看。...

好的，我马上尝试一下，不过我的数学不太好，可能会慢一些……刚刚提到的凸性条件应该是在A、B和C满足比较具体的某些条件才行的吧?

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8楼2013-04-09 14:36:01

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5楼: Originally posted by 甜芯儿葱 at 2013-04-09 12:54:10
楼下给出反例了………………请问能否找到限定条件，使右边成立？...

我证明的有些问题，这个反例其实很容易给出，只要A1=A2，B1=C1
B2和C2差一些就可以给出反例，所以我给出一个限定条件，B1《C1,B2《C2，将B，C排序，之后再证明

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9楼2013-04-09 14:52:52

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其实A、B和C是同一个参数（角度）的函数，三个函数随角度变化的曲线如左图，右图是不等式中平方比的曲线。不知道这样的几条曲线能否满足不等式的右边？

ABC函数.jpg

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10楼2013-04-09 17:11:15

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