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甜芯儿葱

新虫 (初入文坛)

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专业: 光学

[求助] 求证不等式

请问能否由图中第一个不等式推出第二个？或者想要由第一个推出第二个需要什么条件呢？主要是证明不等式的右面，貌似左面我可以证出来。俺需要主要的过程~谢谢各位大神了！

证明.jpg

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1楼 2013-04-08 19:38:30

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

weft

木虫 (正式写手)

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红花: 13
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注册: 2012-12-02
专业: 文化学

【答案】应助回帖

引用回帖:

4楼: Originally posted by 甜芯儿葱 at 2013-04-09 11:49:53
那请问有没有可能给出一个限定条件，说明在怎样的情况下能够得到右边的不等式？...

应该是可以的，一个最直接的观察就是加上一定的凸性条件，考虑三元函数 ${f(x,y,z)= \frac{x^2}{y^2+z^2}}$ ，那么你的条件等价于 ${f(A_1,B_1,C_1) < f(A_2,B_2,C_2) }$ ，而你想要的不等式实际上等价于 ${f(A_1,B_1,C_1) < f(\frac{A_1+A_2}{2},\frac{B_1+B_2}{2}, \frac{C_1+C_2}{2}) < f(A_2,B_2,C_2) }$ ，也就是相当于一个内插不等式。我的一个不成熟的想法是：根据凸函数的理论，如果你能够证明那个三元函数是一个凸函数（类比一下一元的凸函数），那么这个内插不等式是有可能成立的。当然还需要加一些别的技术性假设，比如函数f在连接 ${(A_1,B_1,C_1),(A_2,B_2,C_2) }$ 这两个点的线段的内部没有极小值点。所有这些都是通过观察一元凸函数的性质得到的。