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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 求助小球入盒问题
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wshb0601

金虫 (小有名气)

[求助] 求助小球入盒问题

现在有m×n个相同的小球（m<=n），有n×n个盒子，其中n×n个盒子排成一个n行n列的方阵且每个盒子至多只能放入一个小球。问，将m×n个小球投入盒子方阵中，使得盒子方阵中的每一行和每一列都恰好有m个小球的方式有多少种？
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1楼 2013-03-12 10:35:01
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wshb0601

金虫 (小有名气)
wshb0601: 回帖置顶 2013-03-18 08:29:16
问题等价描述：
      有x_{1,1},x_{1,2},...,x_{1,n},
         x_{2,1},x_{2,2,},...,x_{2,n},
          ...
         x_{n,1},x_{n,2},...,x_{n,n}共n×n个变量，每个变量的取值为0或者1，求下面0-1规划问题的解的个数, 其中m<=n？
       x_{1,1}+x_{1,2}+...+x_{1,n}=m
       x_{2,1}+x_{2,2}+...+x_{2,n}=m
                   ...
       x_{n,1}+x_{n,2}+...+x_{n,n}=m
       x_{1,1}+x_{2,1}+...+x_{n,1}=m
       x_{1,2}+x_{2,2}+...+x_{n,2}=m
                  ...
       x_{1,n}+x_{2,n}+...+x_{n,n}=m
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9楼2013-03-18 08:29:12
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

wshb0601

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by haixiawu at 2013-03-15 16:07:36
小球相同，盒子无区别，可以看成是n个m小球入n盒子，m小球放入n个盒子是C(n, m)，所以是C(m,m)^n
C(n,m)是从n中选m个。

这样的话，只能满足n*n盒子方阵中，每一行（或每一列）都有m个小球的条件，但是不能同时保证每一行和每一列都恰好有m个小球。所以实际的数值应该要比C(n,m)^n小
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5楼2013-03-15 16:42:27
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没鞋照样狂奔

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

若小球不加以区别的话，是不是：(n*n)!/(m*m)!
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2楼2013-03-15 15:40:56
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haixiawu

金虫 (文坛精英)

【答案】应助回帖

小球相同，盒子无区别，可以看成是n个m小球入n盒子，m小球放入n个盒子是C(n, m)，所以是C(m,m)^n
C(n,m)是从n中选m个。
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3楼2013-03-15 16:07:36
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wshb0601

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 没鞋照样狂奔 at 2013-03-15 15:40:56
若小球不加以区别的话，是不是：(n*n)!/(m*m)!

能说一下你的想法吗？怎么得到这个公式
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4楼2013-03-15 16:40:16
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houjinhai

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

把m×m方阵看成一体，（n-m）*（n-m）+2m（n-m）
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6楼2013-03-15 22:33:06
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houjinhai

木虫 (著名写手)
有问题，在考虑一下。
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7楼2013-03-15 23:00:20
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筝筝日上

银虫 (著名写手)
同求答案！
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8楼2013-03-16 18:42:56
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

C_n^m*C_(n-1)^(m-1)*...*C_(n-m)^0
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
10楼2013-03-18 10:32:56
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