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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 关于奇怪吸引子维数的应用与意义问题？大虾请指教
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[求助] 关于奇怪吸引子维数的应用与意义问题？大虾请指教 已有1人参与

在混沌中，其最主要的现象是存在奇怪吸引子；我们通过G-P算法及改进算法求出了奇怪吸引子的维数，维数是描述吸引子的基本数学量。
现在想请教大虾的是：维数在混沌分析中到底起到了哪些作用？或者是我们通过计算出来的维数，可以得到哪些重要的结论或意义？
请大虾指教！
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1楼 2012-12-31 15:22:53
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onesupeng

金虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lovibond: 金币+2, 感谢专家应助 2013-01-01 13:36:37
rainbowguy: 金币+10, ★有帮助 2013-01-02 11:33:57
soliton923: 数学EPI+1, 耐心回答，在数学版活跃，且对LZ很有帮助~~授予数学EPI一枚 2013-01-11 15:04:43
我试图解释一下，更多的内容请查看书籍资料和googole。

首先，确定什么是Strange attractor， 它有点像吸引子，和一般的吸引子有不同，最著名的是Lorenz's strange attractor。

再仔细的读书你会发现，咦，这个东西和分形有点关系，是一种分形？进一步，怎么从一个相空间判断这样的系统是什么系统，稳定的?周期的？混沌的？

然后想到判断系统的准则，计算利亚普诺夫指数？计算维数？计算频谱空间？

于是出现相空间的维度问题。维数计算都有什么方法，这些方法都有什么优劣？在什么情况下会失效?通常情况下，维数为正数是什么情况，维数为非整数又是什么情况，维数越大是什么情况？

以Hausdorff维数为例，一个点的维数=0，一条直线的维数=1，一个平面的维数=2.....分数时呢？如果一个吸引子的维数是分数，那么大多数时候就是strange attractor；维数越大，应该就是越复杂的strange attractor。

推荐文献：
Nonlinear Dynamics and Chaos， Strogatz
google
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2楼2013-01-01 01:12:24
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by onesupeng at 2013-01-01 01:12:24
我试图解释一下，更多的内容请查看书籍资料和googole。

首先，确定什么是Strange attractor， 它有点像吸引子，和一般的吸引子有不同，最著名的是Lorenz's strange attractor。

再仔细的读书你会发现，咦，这 ...

大虾说的，本人略知一二，能不能介绍的更深入一些，
请问大虾的是：如果两个吸引子的维数相同，是不是可以说两个系统相同或相似？怎么从维数上来判断两个系统之间的差别？
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3楼2013-01-02 11:33:35
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onesupeng

金虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
rainbowguy: 金币+5, ★有帮助 2013-01-02 17:03:14
引用回帖:
3楼: Originally posted by rainbowguy at 2013-01-02 11:33:35
大虾说的，本人略知一二，能不能介绍的更深入一些，
请问大虾的是：如果两个吸引子的维数相同，是不是可以说两个系统相同或相似？怎么从维数上来判断两个系统之间的差别？...

维数相同，并不能说明什么，也没有理由说相似

维数仅仅能判断一些定性的区别，但不能判断定量的区别。如果你能理解我前面帖子的意思，应该已经能找到答案了。
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4楼2013-01-02 12:36:33
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by onesupeng at 2013-01-02 12:36:33
维数相同，并不能说明什么，也没有理由说相似

维数仅仅能判断一些定性的区别，但不能判断定量的区别。如果你能理解我前面帖子的意思，应该已经能找到答案了。...

大虾的意思是Lyapunov指数、维数可以表征非线性系统是否会出现混沌。
但，是否有其它特征量，可以表征两个非线性系统是否相同或相似？或者只能通过相空间轨迹来判断？
请onesupeng大虾指教！
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5楼2013-01-02 17:07:40
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onesupeng

金虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
rainbowguy: 金币+3, ★★★很有帮助 2013-01-03 14:49:20
引用回帖:
5楼: Originally posted by rainbowguy at 2013-01-02 17:07:40
大虾的意思是Lyapunov指数、维数可以表征非线性系统是否会出现混沌。
但，是否有其它特征量，可以表征两个非线性系统是否相同或相似？或者只能通过相空间轨迹来判断？
请onesupeng大虾指教！...

指教不敢，但是在实际应用中，就算是判断是否进入混沌，也都常常有失准的时候~
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6楼2013-01-02 22:46:15
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by onesupeng at 2013-01-02 22:46:15
指教不敢，但是在实际应用中，就算是判断是否进入混沌，也都常常有失准的时候~...

看来，重构相空间的吸引子维数，只能来定性的判断吸引子本身，而对于判断两个非线性系统的相似或相同，则没有任何意义。
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7楼2013-01-03 14:48:48
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onesupeng

金虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
rainbowguy: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-01-04 15:39:28
更进一步，其实混沌湍流还是很复杂，大家都能说什么是混沌、什么是湍流，大道理一堆一堆的，但是混沌与非混沌的界限，确是没有人能说清楚的，也没有统一的认识。就我目前所知道的，有各种各样的判断准则，比如前面所到的李雅普诺夫指数、维数等，可是这些量本身的计算就有各种不同的方法，而每种方法得到的具体数字又有区别。所以这种系统，不可能如同满足适定性的系统那样，1就是1,2就是2。我觉得这些系统的定义有点模糊数学的味道。
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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com
8楼2013-01-04 02:05:15
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by onesupeng at 2013-01-04 02:05:15
更进一步，其实混沌湍流还是很复杂，大家都能说什么是混沌、什么是湍流，大道理一堆一堆的，但是混沌与非混沌的界限，确是没有人能说清楚的，也没有统一的认识。就我目前所知道的，有各种各样的判断准则，比如前面所 ...

如果两个动力学系统，他们的动态行为最终被限制在维数相同的吸引子上，是不是就可以认为它们是拓扑等价或微分等价，也可以说它们就是同一类型的系统？
希望听听onesupeng大虾的见解！
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9楼2013-01-04 15:38:50
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cuso4852cuoh

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
9楼: Originally posted by rainbowguy at 2013-01-04 15:38:50
如果两个动力学系统，他们的动态行为最终被限制在维数相同的吸引子上，是不是就可以认为它们是拓扑等价或微分等价，也可以说它们就是同一类型的系统？
希望听听onesupeng大虾的见解！...

楼主，求问吸引子的编程方法啊，十分感谢，
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10楼2019-05-11 15:18:56
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