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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 泛函分析方面的问题，涉及测度，用到Sard定理的思想
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watashi618

木虫 (初入文坛)

[求助] 泛函分析方面的问题，涉及测度，用到Sard定理的思想

谢谢大家了

1.jpg

[ Last edited by watashi618 on 2012-12-28 at 23:20 ]
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Life is but a dream
1楼 2012-12-28 23:14:57
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
watashi618: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 非常感谢您的帮助！ 2012-12-29 23:11:31
大概如下：
1）因为f的像Im(f)最多为n1维，也就是Im(f)是codimension为正的。这说明了，Im(f)的测度为0，因为它的补R^n2 -- Im(f) 和R^n2有相同的测度。
2）如果m(Im(f))>0, 那么存在一点x\in R^n1使得这一点f(x)周围的像是n2维的（否则如1）不可能），那么这一点的倒数表示矩阵的稚也必定是n2。
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2楼2012-12-29 14:05:03
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普通回帖

watashi618

木虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2012-12-29 14:05:03
大概如下：
1）因为f的像Im(f)最多为n1维，也就是Im(f)是codimension为正的。这说明了，Im(f)的测度为0，因为它的补R^n2 -- Im(f) 和R^n2有相同的测度。
2）如果m(Im(f))>0, 那么存在一点x\in R^n1使得这一点f ...

非常感谢您的参与，能不能给一个类似于sard定理的证明的证明。下面是我们老师的提示。另外，能否告知这个定理在哪本书上有？非常感谢！

IMAG0533.jpg
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Life is but a dream
3楼2012-12-29 15:00:16
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

http://math.uchicago.edu/~amwright/Sard.pdf 中的lemma 3 正是1）的答案，这是sard定理证明的一部分。
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4楼2012-12-29 20:31:45
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watashi618

木虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2012-12-29 14:05:03
大概如下：
1）因为f的像Im(f)最多为n1维，也就是Im(f)是codimension为正的。这说明了，Im(f)的测度为0，因为它的补R^n2 -- Im(f) 和R^n2有相同的测度。
2）如果m(Im(f))>0, 那么存在一点x\in R^n1使得这一点f ...

如果m(Im(f))>0, 那么存在一点x\in R^n1使得这一点f(x)周围的像是n2维的（否则如1）不可能），那么这一点的倒数表示矩阵的稚也必定是n2。
为什么导数表示矩阵的稚也必定是n2？ 非常感谢
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Life is but a dream
5楼2012-12-29 21:40:19
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by watashi618 at 2012-12-29 21:40:19
如果m(Im(f))>0, 那么存在一点x\in R^n1使得这一点f(x)周围的像是n2维的（否则如1）不可能），那么这一点的倒数表示矩阵的稚也必定是n2。
为什么导数表示矩阵的稚也必定是n2？ 非常感谢...

因为f是C^1的，f在x周围可以Taylor展开，f（y）=f(x)+A(y-x)+ o(y-x)的形式。如果A的稚比n2小，则A的像（也是f在x周围的像）的维数必定比n2小。
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6楼2012-12-29 23:03:56
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watashi618

木虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by sskkyy at 2012-12-29 23:03:56
因为f是C^1的，f在x周围可以Taylor展开，f（y）=f(x)+A(y-x)+ o(y-x)的形式。如果A的稚比n2小，则A的像（也是f在x周围的像）的维数必定比n2小。...

非常感谢
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Life is but a dream
7楼2012-12-29 23:05:39
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匿名

用户注销 (著名写手)
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8楼2013-01-03 16:59:57
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匿名

用户注销 (著名写手)
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9楼2013-01-03 17:01:22
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watashi618

木虫 (初入文坛)
引用回帖:
9楼: Originally posted by 2013年考博 at 2013-01-03 17:01:22
请问您是否学过鲁丁的实分析与复分析？
感觉这本书难吗?
请问您是学的张恭庆的泛函分析讲义吗？
请告诉我怎么学习的？
谢谢

看过他写的实分析，复分析没看，个人觉得有一定的难度。Rudin写的Functional Analysis是我们的主要教材，张恭庆的没用过，我们是用的刘炳初的，这本非常简单。我们现在很少用到实分析的东西。
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Life is but a dream
10楼2013-01-03 18:37:18
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