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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一道线代证明题啊
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军版aerogel

银虫 (小有名气)

[求助] 求助一道线代证明题啊

证明：A,B是n阶方阵，且E-AB可逆，求证E-BA可逆

列了一些变形没看出关系···
我不是这个方向为了发帖临时改的，麻烦了谢谢。
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1楼 2012-11-25 17:31:50
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yangxing0827

银虫 (小有名气)
这个题解法如下，设E-AB的逆势C，A应该也是???逆的，设为D,则有：
(E-AB)C=E,
(A-ABA)C=A,
A(E-BA)C=A,
DA(E-BA)C=DA,
(E-BA)C=E.所以???逆得以??明。
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自信，理解
9楼2012-12-04 07:45:39
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思维女皇

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
军版aerogel: 金币+5, ★★★很有帮助, 谢谢 2012-11-25 18:50:44
数学符号用编辑器打不上，所以我就说一下思路吧，只需证︳E-AB ︱≠0即可，将E用B和B的逆阵的乘积换一下，在将B左提出来，根据行列式的性质，很容易就证出来了。
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2楼2012-11-25 18:12:25
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
军版aerogel: 金币+7, ★★★很有帮助, 诶请问这个*···是伴随？还是··· 2012-11-25 18:50:34
如果X是E-BA的特征向量，则(E-BA)X=aX **，只需要再证明a不等于0，则可知E-BA可逆.
如果AX=0，则X=aX，所以a=1;
如果AX不等于零，记为Y。**左右两边同时左乘A，则有：AX-ABAX=aAX，即：(E-AB)Y=aY。
所以Y是非曲直E-AB的特征向量，由E-AB可逆可知，其特征值左不为零，所以证得a不等于零。
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军版aerogel
3楼2012-11-25 18:19:30
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
军版aerogel: 金币+8, ★★★★★最佳答案, 很清楚谢谢 2012-11-25 18:50:56
证明:设(E-BA)X=0,则X-BAX=0,两边同时左乘A得,AX-ABAX=0,于是(E-AB)AX=0.由于E-AB可逆,所以AX=0.又由X-BAX=0知X=B(AX)=0.这说明齐次线方程组(E-BA)X=0只有零解,所以E-BA可逆.
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4楼2012-11-25 18:40:25
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