应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间
151/2返回列表12下一页
查看: 4262  |  回复: 14
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

匿名

用户注销 (正式写手)
本帖仅楼主可见

» 收录本帖的淘帖专辑推荐

科技界

» 猜你喜欢
1楼 2012-09-23 16:50:08
已阅   同方向广播   申请数学EPI   回复此楼   编辑   查看我的主页
回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。
既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。
从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。
对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。
因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。
这几个空间之间的关系是：
线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。
赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）
内积空间是赋范线性空间
希尔伯特空间就是完备的内积空间。
赞一下(9人) 回复此楼
9楼2012-10-16 22:11:41
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

思者无涯

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

我的理解是，线性赋范空间就是定义了范数的线性空间，所谓范数就是线性空间到数域的一个映射，其满足范数公理（正定性，齐次性，三角不等式），你可以理解为线性空间元素的长度。内积空间就是定义了内积的线性空间，而内积可以看成是两个元素作用生成一个数，按一般向量内积理解即可。度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足正定性、对称性、三角不等式。
一般而言，定义了内积你可以诱导出范数（也就是与自己做内积再开根号），定义了范数你可以诱导出度量（两元素的度量即为元素差的范数），但度量诱导范数需要加一点限制。
所谓希尔伯特空间就是定义了内积的线性空间，并且按照内积诱导出的度量是完备的（完备就是柯西序列在内部收敛）
特别的，实数域上的有限维希尔伯特空间叫做欧几里得空间；复数域上的有限维希尔伯特空间叫做酉空间
一般说的希尔伯特空间指无线维空间
无聊码字，望能对楼主有所帮助
赞一下(1人) 回复此楼
6楼2012-10-16 16:35:02
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
普通回帖

fdliuqing

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
2楼2012-09-23 19:36:27
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

人民海军

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-09-25 18:17:35
几个空间一句话说不清楚，见泛函分析课本，范数就是长度，绝对值，模，向量长度都是范数

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
赞一下 回复此楼
Letbygonesbebygones.
3楼2012-09-24 15:17:27
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

ssszhangxx

铁杆木虫 (正式写手)
看书去
回复此楼
4楼2012-09-24 20:17:22
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hanbing10106

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

最好上百度百科上查查，每一个都有详细解释
赞一下 回复此楼
5楼2012-10-09 22:13:50
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

思者无涯

金虫 (小有名气)
刚刚说错了一个东西
希尔伯特空间就是定义了内积的线性空间，并且按照内积诱导出的范数是完备的
不是度量
赞一下 回复此楼
7楼2012-10-16 16:40:21
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

sanshiyayan

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

1.度量空间， 赋范线性空间、内积空间，希尔伯特空间依次包含
2.度量空间是一个集合，将集合里任意两个元素对应一个非负数，即二元函数，称为度量
3.赋范线性空间是将一个线性空间中任一个元素对应一个非负数，即一元函数，并给它取名为范数
4.实(复)内积空间是将线性空间中任意两个元素对应到实(复)数，即二元函数，俗称内积
5.希尔伯特空间是完备的内积空间
6.如同上面所说，范数本质是个一元函数，如加法是实数中的二元函数，绝对值是实数中的一元函数(即一元运算)
7.对1的说明，说度量空间包含赋范线性空间是指一个赋范线性空间肯定是个度量空间，因为由范数运算能弄出个度量运算
8.我上面所说的，只是加强理解，前提是已经在书上找到了具体的定义

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
赞一下 回复此楼
8楼2012-10-16 20:41:54
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

西风2012

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

9楼解释已经最好，
你也可以把以上一些东西理解成集合中的元素、
定义了几种运算（要保证这些运算的结果仍在集合上）、定义了“长度”去理解。
赞一下 回复此楼
10楼2012-10-17 09:29:42
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 wumin199 的主题更新
151/2返回列表12下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[基金申请] 为什么到现在没收到通知？ +5 tannykie 2026-08-29 5/250 2026-08-30 21:05 by purplejack
[基金申请] 有没有仍没收到信息的 +7 德尚中行 2026-08-27 8/400 2026-08-30 20:52 by purplejack
[基金申请] 面上意见出来了 +9 黄鸟于飞Chao 2026-08-29 18/900 2026-08-30 16:47 by 黄鸟于飞Chao
[考博] 找导师 +6 yuanjiabao 2026-08-29 7/350 2026-08-30 14:40 by 生科新手
[基金申请] 麻烦专家们看看评委们的意见（F口面上） +6 gdd2018 2026-08-28 11/550 2026-08-30 08:58 by 超级无敌华子
[基金申请] 我就是申请一个面上项目而已，这评审意见是按照杰青的条件评的吧？ +6 gouxfjh 2026-08-28 11/550 2026-08-30 07:57 by gouxfjh
[基金申请] 为什么资助数各大高校都创新高，自己申请怎么就这么难 +12 Kittylucky 2026-08-27 13/650 2026-08-29 00:04 by superceng
[基金申请] 系统查不到 +11 董八千 2026-08-26 11/550 2026-08-28 18:06 by Leogzhya
[基金申请] 基金不中，共勉 +11 eulota 2026-08-26 11/550 2026-08-28 14:22 by 火星超人xi
[基金申请] 怎么查啊 +6 huang1991js 2026-08-26 6/300 2026-08-28 08:42 by winsaint
[基金申请] 面上合作单位盖章 +5 ssyjh 2026-08-27 5/250 2026-08-27 20:50 by gdfollow
[基金申请] 看板上这么多中的，有点像50人群里49个人都是骗子的那种感觉…… +5 a089 2026-08-26 6/300 2026-08-27 14:05 by jonewore
[文学芳草园] 梦想 +3 myrtle 2026-08-26 3/150 2026-08-27 10:01 by angelyueyi
[基金申请] 我不理解！ +15 Edward_pc 2026-08-26 23/1150 2026-08-26 20:34 by zzuzxg
[基金申请] 2026年8月25日国自然放榜前突然收到列入评审专家邮件，有关系吗？ +25 木水思豆 2026-08-25 28/1400 2026-08-26 14:53 by draco1987
[基金申请] 为什么国自然不能直接公布 +4 bjdxyxy 2026-08-26 4/200 2026-08-26 13:12 by qingmu1201
[基金申请] 国际合作可查了，中了面上 (EPI+1)(金币+50) +18 Ldrop2023 2026-08-26 18/900 2026-08-26 11:15 by cmrandy
[基金申请] 系统进不去 +4 yanglien 2026-08-26 5/250 2026-08-26 11:10 by wenfengw83
[基金申请] 牛来！米来！面来！ +8 beefly 2026-08-26 8/400 2026-08-26 08:37 by xuzhipiao
[基金申请] 某些机构，以效率低为荣，以效率低作为存在感 +9 yuleib84 2026-08-25 10/500 2026-08-25 17:14 by alexon
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭