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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间
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匿名

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1楼 2012-09-23 16:50:08
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。
既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。
从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。
对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。
因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。
这几个空间之间的关系是：
线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。
赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）
内积空间是赋范线性空间
希尔伯特空间就是完备的内积空间。
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9楼2012-10-16 22:11:41
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fdliuqing

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
2楼2012-09-23 19:36:27
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人民海军

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-09-25 18:17:35
几个空间一句话说不清楚，见泛函分析课本，范数就是长度，绝对值，模，向量长度都是范数

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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Letbygonesbebygones.
3楼2012-09-24 15:17:27
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hanbing10106

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

最好上百度百科上查查，每一个都有详细解释
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5楼2012-10-09 22:13:50
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