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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间
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1楼 2012-09-23 16:50:08
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。
既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。
从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。
对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。
因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。
这几个空间之间的关系是：
线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。
赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）
内积空间是赋范线性空间
希尔伯特空间就是完备的内积空间。
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9楼2012-10-16 22:11:41
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思者无涯

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

我的理解是，线性赋范空间就是定义了范数的线性空间，所谓范数就是线性空间到数域的一个映射，其满足范数公理（正定性，齐次性，三角不等式），你可以理解为线性空间元素的长度。内积空间就是定义了内积的线性空间，而内积可以看成是两个元素作用生成一个数，按一般向量内积理解即可。度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足正定性、对称性、三角不等式。
一般而言，定义了内积你可以诱导出范数（也就是与自己做内积再开根号），定义了范数你可以诱导出度量（两元素的度量即为元素差的范数），但度量诱导范数需要加一点限制。
所谓希尔伯特空间就是定义了内积的线性空间，并且按照内积诱导出的度量是完备的（完备就是柯西序列在内部收敛）
特别的，实数域上的有限维希尔伯特空间叫做欧几里得空间；复数域上的有限维希尔伯特空间叫做酉空间
一般说的希尔伯特空间指无线维空间
无聊码字，望能对楼主有所帮助
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6楼2012-10-16 16:35:02
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普通回帖

fdliuqing

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
2楼2012-09-23 19:36:27
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人民海军

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-09-25 18:17:35
几个空间一句话说不清楚，见泛函分析课本，范数就是长度，绝对值，模，向量长度都是范数

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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Letbygonesbebygones.
3楼2012-09-24 15:17:27
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ssszhangxx

铁杆木虫 (正式写手)
看书去
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4楼2012-09-24 20:17:22
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hanbing10106

银虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

最好上百度百科上查查，每一个都有详细解释
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5楼2012-10-09 22:13:50
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思者无涯

金虫 (小有名气)
刚刚说错了一个东西
希尔伯特空间就是定义了内积的线性空间，并且按照内积诱导出的范数是完备的
不是度量
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7楼2012-10-16 16:40:21
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sanshiyayan

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

1.度量空间， 赋范线性空间、内积空间，希尔伯特空间依次包含
2.度量空间是一个集合，将集合里任意两个元素对应一个非负数，即二元函数，称为度量
3.赋范线性空间是将一个线性空间中任一个元素对应一个非负数，即一元函数，并给它取名为范数
4.实(复)内积空间是将线性空间中任意两个元素对应到实(复)数，即二元函数，俗称内积
5.希尔伯特空间是完备的内积空间
6.如同上面所说，范数本质是个一元函数，如加法是实数中的二元函数，绝对值是实数中的一元函数(即一元运算)
7.对1的说明，说度量空间包含赋范线性空间是指一个赋范线性空间肯定是个度量空间，因为由范数运算能弄出个度量运算
8.我上面所说的，只是加强理解，前提是已经在书上找到了具体的定义

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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8楼2012-10-16 20:41:54
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西风2012

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

9楼解释已经最好，
你也可以把以上一些东西理解成集合中的元素、
定义了几种运算（要保证这些运算的结果仍在集合上）、定义了“长度”去理解。
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10楼2012-10-17 09:29:42
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