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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » arctan x收敛疑问
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KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] arctan x收敛疑问

arctan x在整个定义域上（负无穷到正无穷）都是收敛的吧，但用麦克劳林展开式展开后，算得arctan x的收敛半径为1，两者是不是矛盾？应该怎么理解呢？
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1楼 2012-07-03 15:55:46
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
"arctan x在整个定义域上（负无穷到正无穷）都是收敛的吧"是什么意思?在微积分中出现收敛大概在三个地方:一是数列有极限称数收敛;二是广义积分是否是收敛的;三是级数是否是收敛的.函数在其定义域上收敛指的是什么,把这个弄清,你的问题就解决了.
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2楼2012-07-03 16:32:39
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-03 16:32:39
"arctan x在整个定义域上（负无穷到正无穷）都是收敛的吧"是什么意思?在微积分中出现收敛大概在三个地方:一是数列有极限称数收敛;二是广义积分是否是收敛的;三是级数是否是收敛的.函数在其定义域上收敛指 ...

arctan x的收敛半径是1，即收敛区间是[-1,1]吧，这在几何上有什么体现？和x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2没有关系？
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3楼2012-07-03 16:41:31
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
KZ1425: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2012-07-03 19:55:09
引用回帖:
3楼: Originally posted by KZ1425 at 2012-07-03 16:41:31
arctan x的收敛半径是1，即收敛区间是吧，这在几何上有什么体现？和x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2没有关系？...

x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2是描述函数值在自变量变化时的发展变化趋势,而arctan x的收敛半径是1,收敛区间是(-1,1),收敛域是[-1,1),这个指的是泰勒多项式P_n(x)在这个区间上当次数n越来越大时,泰勒多项式与arctan x越来越接近,或都说当n趋于无穷时,在区间(-1,1]上p_n(x)趋于arctan x.这说明只有在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开.
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4楼2012-07-03 19:35:57
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-03 19:35:57
x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2是描述函数值在自变量变化时的发展变化趋势,而arctan x的收敛半径是1,收敛区间是(-1,1),收敛域是上p_n(x)趋于arctan x.这说明只有在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开....

明白了，谢谢
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5楼2012-07-03 19:54:53
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
涉及幂级数的问题光在实数轴上看都有一定局限性，要转到复数平面上才能看清。

在复数平面上 ±i 是函数 arctan z 的不连续点。而幂级数在收敛域内是处处连续的，所以arctan z 的马克老林级数收敛半径不能大于 1。
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KZ1425
6楼2012-07-04 08:30:48
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KZ1425

木虫 (著名写手)
送鲜花一朵
引用回帖:
6楼: Originally posted by Pchief at 2012-07-04 08:30:48
涉及幂级数的问题光在实数轴上看都有一定局限性，要转到复数平面上才能看清。

在复数平面上 ±i 是函数 arctan z 的不连续点。而幂级数在收敛域内是处处连续的，所以arctan z 的马克老林级数收敛半径不能大于 1。

谢谢回答。

为什么推导出arctan x的收敛半径为1的时候没有涉及复数，要体现它的图像特征却要转到复数平面？ ±i 是函数 arctan z 的不连续点和收敛半径为1有什么关系？
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7楼2012-07-04 09:08:29
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-03 19:35:57
x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2是描述函数值在自变量变化时的发展变化趋势,而arctan x的收敛半径是1,收敛区间是(-1,1),收敛域是上p_n(x)趋于arctan x.这说明只有在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开....

怎么证明在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开？即怎么证明在收敛域内，n越来越大时，泰勒多项式与原函数越来越接近？
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8楼2012-07-04 19:53:56
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by KZ1425 at 2012-07-04 19:53:56
怎么证明在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开？即怎么证明在收敛域内，n越来越大时，泰勒多项式与原函数越来越接近？...

这是个好问题!如果你对这部分想要有深入了解,请看一下《数学分析》中关于幂级数收敛及其性质部分内容，就可以解答你的问题。arctan x与其泰勒多项式的之间的差别，可以表示为lagrange型、积分型或Peano型余项，根据余项的表现就可以证明这个结论。
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KZ1425
9楼2012-07-04 21:03:31
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KZ1425

木虫 (著名写手)
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引用回帖:
9楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-04 21:03:31
这是个好问题!如果你对这部分想要有深入了解,请看一下《数学分析》中关于幂级数收敛及其性质部分内容，就可以解答你的问题。arctan x与其泰勒多项式的之间的差别，可以表示为lagrange型、积分型或Peano型余项，根据 ...

谢谢回答，有空看下数学分析
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10楼2012-07-04 21:10:01
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