2楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-03 16:32:39
"arctan x在整个定义域上（负无穷到正无穷）都是收敛的吧"是什么意思?在微积分中出现收敛大概在三个地方:一是数列有极限称数收敛;二是广义积分是否是收敛的;三是级数是否是收敛的.函数在其定义域上收敛指 ...

3楼: Originally posted by KZ1425 at 2012-07-03 16:41:31
arctan x的收敛半径是1，即收敛区间是吧，这在几何上有什么体现？和x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2没有关系？...

4楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-03 19:35:57
x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2是描述函数值在自变量变化时的发展变化趋势,而arctan x的收敛半径是1,收敛区间是(-1,1),收敛域是上p_n(x)趋于arctan x.这说明只有在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开....

6楼: Originally posted by Pchief at 2012-07-04 08:30:48
涉及幂级数的问题光在实数轴上看都有一定局限性，要转到复数平面上才能看清。

在复数平面上 ±i 是函数 arctan z 的不连续点。而幂级数在收敛域内是处处连续的，所以arctan z 的马克老林级数收敛半径不能大于 1。

4楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-03 19:35:57
x趋向于正无穷时，arctan x趋向于pi/2是描述函数值在自变量变化时的发展变化趋势,而arctan x的收敛半径是1,收敛区间是(-1,1),收敛域是上p_n(x)趋于arctan x.这说明只有在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开....

8楼: Originally posted by KZ1425 at 2012-07-04 19:53:56
怎么证明在区间(-1,1]上arctan x才有泰勒展开？即怎么证明在收敛域内，n越来越大时，泰勒多项式与原函数越来越接近？...

9楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-04 21:03:31
这是个好问题!如果你对这部分想要有深入了解,请看一下《数学分析》中关于幂级数收敛及其性质部分内容，就可以解答你的问题。arctan x与其泰勒多项式的之间的差别，可以表示为lagrange型、积分型或Peano型余项，根据 ...