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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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General6318

新虫 (初入文坛)


[交流] 【0,1】上的连续凸函数可微点构成的集合是否一定有内点?

【0,1】上的连续凸函数可微点构成的集合是否一定有内点?
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tigertooth4

新虫 (初入文坛)


★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
小雨萌萌: 金币+3, 谢谢关注~ 2012-07-12 14:09:49
我不能完全回答你的问题,想到一点希望能抛砖引玉:

你可以证明,在(0,1)上凸函数 f(x) 至少左右导数都是存在的。假设
f(x) 是下凸的,那么在不可微点一定是左导数 < 右导数;在可微点
左右导数相等;进而可证明导函数是增函数。

单调函数在 (0,1) 上只可能有跳跃间断点,而且这些间断点只有
可数多个。

我只能证到此处,可数多个间断点并不能保证导函数一定有内点。
2楼2012-07-11 22:31:43
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★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
小雨萌萌: 金币+2, 3Q~ 2012-07-12 14:10:04
我不要分,分都给楼上吧


3楼2012-07-12 08:27:16
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tigertooth4

新虫 (初入文坛)



小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
楼上说的有理,只是有处打印错误:H(x)不是所求凸函数,而是所求的单调函数。他用概率密度来说的,严格说 h(t)dt 是一个概率测度,h(t)本身并不是函数。我搜到对于任意可数稠密集,其实都可以构造相应的单调增函数,在这个可数稠密集上间断,方法如下:设可数稠密集是 {a_k}, 令

                             

则 F(x) 单调且在{a_k}处间断. 证明可看一下链接:

http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf



http://wenku.baidu.com/view/9e228260783e0912a2162a0a.html

所以,凸函数的不可微点可以稠密.

[ Last edited by tigertooth4 on 2012-7-12 at 18:05 ]
4楼2012-07-12 18:02:59
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General6318

新虫 (初入文坛)


谢谢!前两天去开会了,刚回来,我已通知版主发放奖励,希望你们能收到!
5楼2012-07-12 18:54:24
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General6318

新虫 (初入文坛)


有一个问题:[0,1]中的有理数是否可以从小到大排成一列?
6楼2012-07-13 09:46:43
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tigertooth4

新虫 (初入文坛)



小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
不能从小到大排成一列
7楼2012-07-13 14:41:14
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
引用回帖:
4楼: Originally posted by tigertooth4 at 2012-07-12 18:02:59
楼上说的有理,只是有处打印错误:H(x)不是所求凸函数,而是所求的单调函数。他用概率密度来说的,严格说 h(t)dt 是一个概率测度,h(t)本身并不是函数。我搜到对于任意可数稠密集,其实都可以构造相应的单调增函数, ...

我的 h(x) 是 分布函数:h(x)=Pr( ξ
[ Last edited by Pchief on 2012-7-13 at 15:31 ]
8楼2012-07-13 15:26:22
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tigertooth4

新虫 (初入文坛)



小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
嗯,是我看错了!不好意思
9楼2012-07-13 19:03:57
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