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General6318

新虫 (初入文坛)

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[交流] 【0,1】上的连续凸函数可微点构成的集合是否一定有内点？

【0,1】上的连续凸函数可微点构成的集合是否一定有内点？

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1楼2012-06-29 22:37:29

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tigertooth4

新虫 (初入文坛)

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★
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楼上说的有理，只是有处打印错误：H(x)不是所求凸函数，而是所求的单调函数。他用概率密度来说的，严格说 h(t)dt 是一个概率测度，h(t)本身并不是函数。我搜到对于任意可数稠密集，其实都可以构造相应的单调增函数，在这个可数稠密集上间断，方法如下：设可数稠密集是 {a_k}, 令

$F(x) = \sum_{a_k\leq x} \frac{1}{2^k}$

则 F(x) 单调且在｛a_k｝处间断. 证明可看一下链接：

http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf

或

http://wenku.baidu.com/view/9e228260783e0912a2162a0a.html

所以，凸函数的不可微点可以稠密.

[ Last edited by tigertooth4 on 2012-7-12 at 18:05 ]

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4楼2012-07-12 18:02:59

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tigertooth4

新虫 (初入文坛)

数学EPI: 1
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小雨萌萌: 金币+3, 谢谢关注~ 2012-07-12 14:09:49

我不能完全回答你的问题，想到一点希望能抛砖引玉：

你可以证明，在(0,1)上凸函数 f(x) 至少左右导数都是存在的。假设
f(x) 是下凸的，那么在不可微点一定是左导数 < 右导数；在可微点
左右导数相等；进而可证明导函数是增函数。

单调函数在 (0,1) 上只可能有跳跃间断点，而且这些间断点只有
可数多个。

我只能证到此处，可数多个间断点并不能保证导函数一定有内点。

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2楼2012-07-11 22:31:43

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