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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助，谁知道圆柱体的最大投影面积怎么算吗？
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ming.su

银虫 (初入文坛)

[求助] 求助，谁知道圆柱体的最大投影面积怎么算吗？

求助，谁知道圆柱体的最大投影面积怎么算吗？
急 啊
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1楼 2012-06-26 16:20:55
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xxxfield

银虫 (小有名气)
你得说具体点啊。
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2楼2012-06-27 12:40:38
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q~ 2012-06-30 20:50:18
正无穷，拿个手电筒，近似水平地从侧面照过，图形为：底边是线段，长度等于直径；两侧边是线段，长度无穷大；上边是弧线。所以面积无穷大。
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3楼2012-06-28 08:54:28
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waxg1129

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★
小雨萌萌: 金币+1, 3Q~ 2012-06-30 20:50:27
用圆柱体的直径乘以高即是圆柱体的最大投影面积。
因为拿个手电筒，从侧面照过去，所形成的投影面积最大。投影部分正好够成长、宽分别为圆柱体的高和直径的长方形
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4楼2012-06-30 18:47:08
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soqin

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

应该是沿对角斜切时的面积最大，是一个椭圆，椭圆面积S=π(圆周率)×a×b（其中a,b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长）.
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5楼2012-06-30 23:52:49
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soqin

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

重新想了一下，应该是倾斜至一定角度时投影面积最大，投影形状是中间矩形两头各半椭圆。倾斜角度跟圆柱体的直径和高的比例有关。只要给出具体数值就能求出最大值。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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6楼2012-07-01 06:32:19
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qingguo2050

铜虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

显然是个矩形，即沿圆柱的中心线抛开所得截面，因为沿圆柱的中心线旋转圆柱，所有投影均会落到该矩形区域。
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7楼2012-10-02 12:47:36
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

设圆柱体直径D，长度L。若其绕垂直于其中心轴线且过其长度的中点的轴旋转θ角度。则其投影面积为：S=D*L*cosθ+π*D^2/4*sinθ
       令dS/dθ=--D*L*Sinθ+π*D^2/4*Cosθ=0
       解得θ*=arctg[π*D/(4*L)]. 所以Sin=
       因为二阶导数d^2S/dθ^2=--D*L*Cosθ-π*D^2/4*Sinθ。
     当θ=θ*时，二阶导数d^2S/dθ^2=--D*L*Cosθ-π*D^2/4*Sinθ
                 =-[D*L*2*L+π*D^2/4*π*D]/sqrt(16*L^2+π^2*D^2)
                 ＜0,
        故当θ=θ*时，S有极大值。
      S极大=[2*D*L^2+π*D^3/4]/sqrt[16*L^2+π^2*D^2]
   
     解题完毕。
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8楼2013-11-06 21:48:48
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

7楼解答也许错误.
我的想法:
建立坐标系:圆柱体的中轴线为z轴, x,y轴垂直平分中轴,满足右手定则.
设平面经过y轴, 与xoy面夹角a.
若平面与圆柱体外表面相交, 这时面积最大的条件是a=arctan(H/(2R)), H为圆柱体高度,R为底面圆半径.
若平面与圆柱体上\下表面相交, 类似可得结果
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我是这么深爱你啊，我的中国
9楼2013-11-07 20:11:20
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

高为h,半径为r
则投影面积为 \pi r^2 \cos \theta+ 2hr \sin \theta
达到最大时，\pi r \sin \theta = 2h \cos \theta,
\tg \theta= 2h/\pi r
故最大投影面积为
r \sqrt{pi^2 r^2+4h^2}
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10楼2013-11-08 19:14:50
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