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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 傅里叶级数分解后各项系数能优化吗？
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asqin1945

木虫 (正式写手)

[求助] 傅里叶级数分解后各项系数能优化吗？

请教数学方面的牛人：
问题是这样的，我将周期性函数进行傅里叶展开后，变成无限项正余弦函数的和。
现在我要取其前七项近似，想问问虫友们，这前七项系数已经是最优的了吗，能否优化，使得前七项和更接近原来的函数。评价函数就是在一个周期中，取100点，每点的傅里叶近似值与原函数值之差的平方和。
有什么算法能优化这前七项的系数吗？
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1楼 2012-05-08 16:00:03
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ligrid

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
asqin1945: 金币+10, ★有帮助 2012-05-08 22:33:43
不考虑离散误差的情况下已经优化了。
不妨设周期为2pi。
考虑\min \int_0^{2\pi}|f - a_0 -  a_1\cos x - a_2 \cos(2x) - a_3\cos(3x) -b_1\sin x - b_2\sin(2x) - b_3\sin(3x)|^2
这是一个7变量求极小问题，直接对每个变量求偏导数，利用傅立叶级数的正交性可得最小值就是取傅立叶系数的时候。
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2楼2012-05-08 21:31:53
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Krasic

新虫 (初入文坛)
但实际上fft都是离散的啊，这个问题还是挺有意思的，帮顶
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3楼2012-05-09 23:49:35
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asqin1945

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by ligrid at 2012-05-08 21:31:53:
不考虑离散误差的情况下已经优化了。
不妨设周期为2pi。
考虑\min \int_0^{2\pi}|f - a_0 -  a_1\cos x - a_2 \cos(2x) - a_3\cos(3x) -b_1\sin x - b_2\sin(2x) - b_3\sin(3x)|^2
这是一个7变量求极小问题，直 ...

如果我换个评价函数，比如只考虑某些特定点的误差，另一部分的不考虑，这样是不是有优化的可能呢？
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4楼2012-05-10 07:48:04
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ligrid

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by asqin1945 at 2012-05-10 07:48:04:
如果我换个评价函数，比如只考虑某些特定点的误差，另一部分的不考虑，这样是不是有优化的可能呢？

当然会不一样，因为你的效用函数变了。
不同的评价标准会给出不一样的解。
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5楼2012-05-10 08:49:00
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