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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 解线性代数方程组
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wangxn06

金虫 (正式写手)

[求助] 解线性代数方程组

问题描述：有一个线性方程组AX=b（A是方阵）（系数矩阵A的大小为200*200以上）
                  系数矩阵A 是对称矩阵，对角不占优
                  不同的自由项b所计算得到的剩余残差不同，即的到r=b-AX'的量级上有很大差别。
问题：1：同样的系数矩阵，不同的自由项，为什么得到的残差量级上会有很大的差别，这是不是由于系数矩阵的某些特点引起的——比如说矩阵A的条件数过大？
      2.是否有合适的方法可以使得残差达到比较合适的量级。
         我用过全主元高斯消去法、列主元高斯消去法、并且在全主元高斯消去法的基础上，应用了解的迭代改进法、解对称正定线性方程组的楚列斯基法，但是这些都没有提高解的精确度（这些方法对某些自由向量b，解的结果精度都比较高，但是对某些自由向量b解的精度都不足，而这些自由向量b之间到底有什么差别也不好说）。Sample Text
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1楼 2012-01-09 22:42:03
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
计算残量的话还需要给定x，不然怎么比较不同b时的残量？你是怎么设定x的呢？
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2楼2012-01-10 00:21:47
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wangxn06

金虫 (正式写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by saladin983 at 2012-01-10 00:21:47:
计算残量的话还需要给定x，不然怎么比较不同b时的残量？你是怎么设定x的呢？

我不太明白您的意思，但是我试着按我的理解回答一下。
AX=b，我先用某种解线性代数方程组的方法，比如高斯全主元消去法，得到X的解，比如说为X'. 然后计算AX', 最后残余向量r=b-AX'.
我的问题是，理论而言这个残余向量为0时，计算得到的X'才是这个方程的真解。但是，我在计算的过程中，自由项不同，残余向量的二范数的值差别很大。
对于某些自由向量，残余向量的二范数可达到10e-12的以上
而对有些自由向量，残余向量的二范数只能达到10e-2。
是否有好的方法使得残余向量的二范数尽可能的接近零呢？即，使得得到的解x‘接近真解。
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3楼2012-01-10 10:24:06
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌(金币+1): 3Q~ 2012-01-11 14:53:11
方程组AX=b是不相容的，即没有解，需要解最小二乘解！
因为A是对称矩阵，可以考虑正交分解的方法。
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4楼2012-01-10 16:16:01
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wangxn06

金虫 (正式写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by math2000 at 2012-01-10 16:16:01:
方程组AX=b是不相容的，即没有解，需要解最小二乘解！
因为A是对称矩阵，可以考虑正交分解的方法。

首先方程相容不相容，由系数矩阵阵A的秩以及扩张矩阵的秩的大小有关系，当系数矩阵的秩小于扩展矩阵的秩的时候，方程组不相容。
首先假设是不相容的，这意味着，矩阵A肯定是不满秩的。这个或许我可以试试。
但是问题又出来了，如果矩阵不满秩，意味着矩阵A奇异，那么不管自由项是什么，方程组都得不到唯一的解。但是，我的问题中，在某些自由项下，还是可以有很好的结果的。所以，方程组不可能是不相容的。

同时，您提到了正交分解法，我想问一下这个方法相比其他方法有什么优点，是否从理论上可以使得得到的解x'更加接近真解。
非常感谢！
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5楼2012-01-10 17:01:52
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
★
小雨萌萌(金币+1): 谢谢应助啊~ 2012-01-11 14:53:27
引用回帖:
3楼: Originally posted by wangxn06 at 2012-01-10 04:24:06:
我不太明白您的意思，但是我试着按我的理解回答一下。
AX=b，我先用某种解线性代数方程组的方法，比如高斯全主元消去法，得到X的解，比如说为X'. 然后计算AX', 最后残余向量r=b-AX'.
我的问题是，理论而言这个 ...

习惯性地套用迭代法的思维了……

你可以试试解Ay=r，然后用x+y作为解。还不行的话，多重复几次，或许能得到比较理想的解。很可能是系数矩阵条件数比较大，对误差敏感。
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6楼2012-01-11 03:22:46
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wangxn06

金虫 (正式写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by saladin983 at 2012-01-11 03:22:46:
习惯性地套用迭代法的思维了……

你可以试试解Ay=r，然后用x+y作为解。还不行的话，多重复几次，或许能得到比较理想的解。很可能是系数矩阵条件数比较大，对误差敏感。

你讲的迭代法我也试过，没有多大的改变。最主要的是，我有一点想不通，如果系数矩阵的条件数真的很大，那为什么在有些自由向量b下，得到的结果比较理想，而在另外一些自由向量b下，结果不理想呢
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7楼2012-01-11 11:37:30
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by wangxn06 at 2012-01-11 05:37:30:
你讲的迭代法我也试过，没有多大的改变。最主要的是，我有一点想不通，如果系数矩阵的条件数真的很大，那为什么在有些自由向量b下，得到的结果比较理想，而在另外一些自由向量b下，结果不理想呢

如果使用迭代法的话，可以利用preconditioning来改善条件数，具体的需要从系数矩阵的特性来考虑，常用的比如iLU。

关于后面一个问题，我想我们可以打个比方考虑这样的情况：系数矩阵有很小的特征值lambda（接近于0），而右端向量非常接近于这个特征值对应的特征向量，那么求解之后的x约为这个特征向量乘以lambda的倒数（非常大），同时误差也会被lambda的倒数放大得很厉害。如果右端向量与lambda对应的特征向量垂直的话，就不会有这样的问题。

你的例子里是什么情况我不清楚，但是现实问题中右端向量往往不是随意的，尤其在求解偏微分方程的时候，右端向量常常包含一定的特征空间的信息。不知这样说对解释你遇到的问题是否有所启示？
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8楼2012-01-12 00:14:37
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wangxn06

金虫 (正式写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by saladin983 at 2012-01-12 00:14:37:
如果使用迭代法的话，可以利用preconditioning来改善条件数，具体的需要从系数矩阵的特性来考虑，常用的比如iLU。

关于后面一个问题，我想我们可以打个比方考虑这样的情况：系数矩阵有很小的特征值lambda（接 ...

我试着说说你的意思：
x1为系数矩阵的特征向量，α为x1对应的特征值。 即有：Ax1=αx1
同时有 Ax=b
如果b和x1接近，可以近似有Ab=αb
因此有Ab=αAx
固有b=αx
因此x-b/α
不知道 您是不是这个意思。
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9楼2012-01-12 10:24:50
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by wangxn06 at 2012-01-12 04:24:50:
我试着说说你的意思：
x1为系数矩阵的特征向量，α为x1对应的特征值。 即有：Ax1=αx1
同时有 Ax=b
如果b和x1接近，可以近似有Ab=αb
因此有Ab=αAx
固有b=αx
因此x-b/α
不知道 您是不是这个意思。

应该这样写：

若A b ~= α b （b近似于α对应的特征向量）， 则 x = A^{-1} b ~= b/α 。
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10楼2012-01-12 17:30:48
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