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wangxn06金虫 (正式写手)
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[求助]
解线性代数方程组
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问题描述：有一个线性方程组AX=b（A是方阵）（系数矩阵A的大小为200*200以上） 系数矩阵A 是对称矩阵，对角不占优 不同的自由项b所计算得到的剩余残差不同，即的到r=b-AX'的量级上有很大差别。 问题：1：同样的系数矩阵，不同的自由项，为什么得到的残差量级上会有很大的差别，这是不是由于系数矩阵的某些特点引起的——比如说矩阵A的条件数过大？ 2.是否有合适的方法可以使得残差达到比较合适的量级。 我用过全主元高斯消去法、列主元高斯消去法、并且在全主元高斯消去法的基础上，应用了解的迭代改进法、解对称正定线性方程组的楚列斯基法，但是这些都没有提高解的精确度（这些方法对某些自由向量b，解的结果精度都比较高，但是对某些自由向量b解的精度都不足，而这些自由向量b之间到底有什么差别也不好说）。Sample Text |
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如果使用迭代法的话，可以利用preconditioning来改善条件数，具体的需要从系数矩阵的特性来考虑，常用的比如iLU。 关于后面一个问题，我想我们可以打个比方考虑这样的情况：系数矩阵有很小的特征值lambda（接近于0），而右端向量非常接近于这个特征值对应的特征向量，那么求解之后的x约为这个特征向量乘以lambda的倒数（非常大），同时误差也会被lambda的倒数放大得很厉害。如果右端向量与lambda对应的特征向量垂直的话，就不会有这样的问题。 你的例子里是什么情况我不清楚，但是现实问题中右端向量往往不是随意的，尤其在求解偏微分方程的时候，右端向量常常包含一定的特征空间的信息。不知这样说对解释你遇到的问题是否有所启示？ |
8楼2012-01-12 00:14:37
saladin983
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